Теория чисел
Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько подтеорий.
Содержание |
[править] Элементарная теория чисел
В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа на простые множители, построение магических квадратов, совершенные числа, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах относятся к этому разделу.
[править] Аналитическая теория чисел
В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа. Большую роль в аналитической теории чисел играет метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах. Основы метода тригонометрических сумм разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.
Первым успехом аналитической теории чисел было применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.
Наиболее известной и до сих пор не решенной проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения 
лежат на так называемой критической прямой 
, где 
— дзета-функция Римана.
[править] Алгебраическая теория чисел
В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть, единственности разложения на простые множители.
Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, когомологии групп и многое другое.
Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).
[править] См. также
[править] Литература
- К. Айерлэнд, М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел = A Classical Introduction to Modern Number Theory. — М.: Мир, 1987.
- З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич Теория чисел. — М.: Наука, 1972. — 510 с.
- И. М. Виноградов Основы теории чисел. — М.-Л.: Гостехиздат, 1952. — 180 с.
- С. В. Сизый Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
- А. Я. Хинчин Три жемчужины теории чисел. — М.: Наука, 1979. — 64 с.
- Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин Введение в теорию чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
- Х. Кох Алгебраическая теория чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
[править] Ссылки
| Портал «Наука» | |
|
|
|
|
Математическая логика (алгебра логики) • Теория чисел (арифметика)
|
|
| Портал «Математика» | Категория «Математика» |
 |
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
