Лемма Безиковича о покрытиях
Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали.
Доказана Безиковичем в 1945-м году.
Формулировка
Для любого натурального существует такое натуральное , что верно следующее. Пусть — произвольное множество замкнутых шаров в с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров , такой что центр любого шара из принадлежит хотя бы одному шару из и при этом семейство можно разбить на подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.
Замечания
- Можно предположить, что .
- Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.[1][2]
Применения
Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали. Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы и произвольного шара имеем
- .
Примечания
Литература
- С. В. Иванов, Введение в геометрическую теорию меры лекции 2008.
- Besicovitch, A. S. (1945), "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 41 (02): 103—110, doi:10.1017/S0305004100022453.
- "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 42: 205—235, 1946.
- DiBenedetto, E (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |