Автоморфизм
Автоморфизм модели — изоморфизм, отображающий модель на себя.
Совокупность всех автоморфизмов некоторой модели с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу.
Группа автоморфизмов модели 
обозначается 
.
- Автоморфизм множества есть перестановка элементов этого множества
- Автоморфизм группы — изоморфизм группы на себя.
Автоморфизм называется внутренним, если существует такой элемент 
, что 
, а в противном случае внешним. Множество всех внутренних автоморфизмов группы G есть подгруппа группы всех автоморфизмов, причем 
.[1]
Множество автоморфизмов группы Ли также образует группу Ли.[2]
Содержание |
[править] Автоморфизмы графов
Автоморфизм графа есть отображение множества вершин на себя, сохраняющее смежность.[3] Множество таких автоморфизмов образует вершинную группу графа или просто группу графа. Группа подстановок на множестве ребер называется реберной группой графа, которая тесно связана с вершинной:
Реберная и вершинная группы графа изоморфны тогда и только тогда, когда имеется не более одной изолированной вершины, и нет компонент связности состоящих из единственного ребра.[4]
Граф, для которого единственный возможный автоморфизм это тождественное отображение, называется асимметрическим. Наименьшее асимметрическое дерево имеет семь вершин, а наименьший асимметрический граф шесть вершин и столько же ребер.
Для любой конечной группы найдется такой конечный неориентированный граф, что его группа автоморфизмов изоморфна данной.[5] Результат получен Р. Фрухтом, в основе доказательства — преобразование цветного графа группы, обобщения графа Кэли.[6][7]
[править] Примечания
- ↑ Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 21
- ↑ Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 121
- ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 190
- ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 192
- ↑ А. И. Белоусов Дискретная математика. — 4-е изд. — МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2006. — С. 349. — 744 с.
- ↑ Ф. Харари Теория графов стр. 198—201
- ↑ О. Оре Теория графов стр. 317
[править] См. также
[править] Литература
- Понтрягин, Лев Семёнович Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.
- Оре, Ойстин Теория графов. — М.: УРСС, — 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
- Харари, Фрэнк Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.
 |
Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
