Затухающие колебания

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Затухающие колебания пружинного маятника

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида \scriptstyle u(t) = A \cos(\omega t+q) в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний \scriptstyle u'_t или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Затухающие колебания пружинного маятника[править | править вики-текст]

Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

m \vec{a} = \vec{F_c} + \vec{F_y}

где F_c — сила сопротивления, F_y — сила упругости

F_c = -cv, F_y = -kx, то есть
m a + c v + k x = 0

или в дифференциальной форме

\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения: 
\omega_0 = \sqrt{ k \over m },\qquad \zeta = { c \over 2 \sqrt{k m} }.

Величину \omega_0 называют собственной частотой системы, \zeta — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

\ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0

Сделав замену  x = e^{\lambda t}, получают характеристическое уравнение

\lambda^2 + 2 \zeta \omega_0 \lambda + \omega_0^2 = 0

Корни которого вычисляются по следующей формуле

\lambda_\pm = \omega_0( - \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})

Решения[править | править вики-текст]

Зависимость графиков колебаний от значения \zeta.

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

  • Апериодичность

Если \scriptstyle \zeta>1, то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

x(t)=c_1 e^{\lambda_- \,t}+c_2 e^{\lambda_+ \,t}

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

  • Граница апериодичности

Если \scriptstyle \zeta=1, два действительных корня совпадают \scriptstyle \lambda = -\omega_0, и решением уравнения является:

x(t)=(c_1t+c_2) e^{-\omega_o t}

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

  • Слабое затухание

Если \scriptstyle \zeta<1, то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

\lambda_\pm = -\omega_0\zeta \pm i \omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 })

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t ))\,

Где \scriptstyle \omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 } — собственная частота затухающих колебаний.

Константы  c_1 и  c_2 в каждом из случаев определяются из начальных условий: \left\{\begin{array}{ccc}x(0) &=& a \\ \dot{x}(0) &=& b \end{array}\right.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.