Закон Гука

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. п.), пропорциональна приложенному к этому телу напряжению. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком[1].

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержня[править | править вики-текст]

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

\! F =  k \Delta l.

Здесь F — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, \Delta l — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а kкоэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как

k = \frac{ES} L.

Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

\varepsilon = \frac{\Delta l} L

и нормальное напряжение в поперечном сечении

\sigma = \frac F S ,

то закон Гука для относительных величин запишется как

\sigma = E\varepsilon \ .

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

\Delta l = \frac{FL} {ES}.

Обобщённый закон Гука[править | править вики-текст]

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C_{ijkl} и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C_{ijkl}, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

\sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl},

где \sigma_{ij} — тензор напряжений, \varepsilon_{kl}, — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C_{ijkl} содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_y-\frac{\mu}{E}\sigma_z
\varepsilon_y=\frac{\sigma_y}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_z
\varepsilon_z=\frac{\sigma_z}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_y
\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G}
\gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G}
\gamma_{xz}=\frac{\tau_{xz}}{G}

где Eмодуль Юнга, \muкоэффициент Пуассона, G=\frac{E}{2(1+\mu)}модуль упругости 2-го рода

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]