Интерполяционное пространство

Интерполяционное пространство — понятие функционального анализа, описывающее свойства банаховых пространств.

Определение

Пусть $A,B,C,D,E,F$ - банаховы пространства, $A,B$ и $C,D$ - две банаховы пары, а $E$ и $F$ - промежуточные банаховы пространства между $A$ и $B$, $C$ и $D$ соответственно. Тройка $(A,B,E)$ называется интерполяционной относительно тройки $(C,D,F)$, если всякий ограниченный оператор из пары $A,B$ в пару $C,D$ отображает пространство $E$ в пространство $F$. Пространство $E$ называется интерполяционным между пространствами банаховой пары $A$ и $B$, если $A$ совпадает с $C$, $B$ совпадает с $D$ и $E$ совпадает с $F$.

Банахова пара пространств

Банаховой парой называются два банаховых пространства $A$ и $B$, алгебраически и топологически вложенные в некоторое отделимое топологическое линейное пространство ${\mathfrak {A}}$.

Вложенное банахово пространство

Банахово пространство $B$ вложено в банахово пространство $A$, если:

1. Из $x\in B$ следует, что $x\in A$.
2. Пространство $A$ индуцирует на $B$ структуру векторного пространства, совпадающую со структурой векторного пространства $B$.
3. Существует такая константа $C_{AB}$, что $\|x\|_{A}\leqslant C_{AB}\|x\|_{B}$ для всех $x\in B$.

Промежуточное банахово пространство

Банахово пространство $C$ называется промежуточным для пары банаховых пространств $A,B$, если имеются вложения $(A\cap B)\subset C\subset (A+B)$. Символ $\subset$ означает алгебраическое и непрерывное вложение. Для того, чтобы банахово пространство $C$ было промежуточным, достаточно, чтобы оно было алгебраически и непрерывно вложено в пространство ${\mathfrak {A}}$, содержало в себе пространство $A\cap B$ и содержалось в пространстве $A+B$.

Литература

• Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.