Хаусдорфово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Хаусдорфовыми пространствами называются топологические пространства, удовлетворяющие сильной аксиоме отделимости. Названы в честь Ф. Хаусдорфа, одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью. Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

[править] Определение

Топологическое пространство $X$ называется хаусдорфовым, если любые две различных точки $x$ , $y$ из $X$ обладают непересекающимися окрестностями $U (x)$ , $V (y)$ .

[править] Примеры и контрпримеры

Хаусдорфовы
- Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности:
  - евклидовы пространства $\R^n$
  - многообразия
  - большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких как $L^p\$ или $W^{1,\;p}$ , $p\geqslant 1\$ .
- По определению, топологические группы являются хаусдорфовыми.
Нехаусдорфовы
- Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии.
- Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.
- Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга.

[править] Свойства

Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали $\Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ в декартовом квадрате $X\times X$ пространства $X$ .
В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.