Хаусдорфово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Хаусдорфово пространствотопологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2. Названо в честь Ф. Хаусдорфа, одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью. Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение[править | править исходный текст]

Hausdorff space.svg

Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, если любые две различных точки x, y из X обладают непересекающимися окрестностями U(x), V(y).

Примеры и контрпримеры[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

  • Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
  • Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали \Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\} в декартовом квадрате X\times X пространства X.
  • В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
  • Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
  • Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счетную базу топологии.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Зорич В.А., Математический анализ (т.2), М.:Наука, 1984