Хаусдорфово пространство

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂. Названо в честь Ф. Хаусдорфа, одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью. Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение

Топологическое пространство $X$ называется хаусдорфовым, если любые две различных точки $x$, $y$ из $X$ обладают непересекающимися окрестностями $U(x)$, $V(y)$.

Примеры и контрпримеры

• Хаусдорфовы
  • Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности:
    • евклидовы пространства $\R^n$
    • многообразия
    • большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких как $L^p\$ или $W^{1,\;p}$, $p\geqslant 1\$.
  • По определению, топологические группы являются хаусдорфовыми.
• Нехаусдорфовы
  • Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии.
  • Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.
  • Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга.

Свойства

• Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
• Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали $\Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ в декартовом квадрате $X\times X$ пространства $X$.
• В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
• Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
• Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
• Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счетную базу топологии.

См. также

• Род Шварца

Литература

• Зорич В.А., Математический анализ (т.2), М.:Наука, 1984