Клетка (теория графов)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Граф Петерсена
Граф Хивуда
Граф Макджи
Граф Леви
Граф Гофмана-Синглтона

n-клетка — кубический граф обхвата n с наименьшим возможным числом вершин. Граф называется кубическим, если из каждой его вершины выходят 3 ребра. Обхват графа — это длина наименьшего цикла в нём.

Для каждого 2 < n < 9 существует единственная n-клетка, причем все эти графы обладают высокой симметрией (являются унитранзитивными). Кроме того, при изображении на плоскости они часто дают экстремальное количество самопересечений, далее индекс самопересечения (англ.).

  • 3-клетка — К4, остов тетраэдра, 4 вершины.
  • 4-клетка — К3,3, один из двух минимальных не планарных графов, 6 вершин.
  • 5-клетка — Граф Петерсена, 10 вершин. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 2.
  • 6-клетка — Граф Хивуда, 14 вершин. Разбивается на 1-факторы (то есть, реберно раскрашиваем), любая сумма двух факторов образует гамильтонов цикл. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 3.
  • 7-клетка — Граф Макджи, 24 вершины. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 8.
  • 8-клетка — Граф Леви, 30 вершин.

Обобщённое определение[править | править исходный текст]

(r,n)-клетка — регулярный граф степени r (то есть из каждой вершины которого выходит ровно r рёбер) и обхвата n с наименьшим возможным числом вершин.

Тривиальные семейства

  • (2,n)-клетками являются, очевидно, циклические графы Cn
  • (r-1,3)-клетки — полные графы Кr из r вершин
  • (2r,4)-клетки — полные двудольные графы Кr,r, у которых в каждой доле находится по r вершин

Нетривиальные представители

  • (7,5)-клетка — Граф Гофмана-Синглтона, 50 вершин.

Известны ещё некоторые клетки. В таблице ниже показано количество вершин в (r,n)-клетках степени 3≤r≤7 и обхвата 3≤n≤12. Клетки для этих и бо́льших r и n описаны здесь: [1] (на английском языке).

n: 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
r = 3: 4 6 10 14 24 30 58 70 112 126
r = 4: 5 8 19 26 67 80 275 384 728
r = 5: 6 10 30 42 152 170 2730
r = 6: 7 12 40 62 294 312 7812
r = 7: 8 14 50 90

Графы Мура[править | править исходный текст]

Количество вершин в (r,n)-клетке больше или равно

1+r\sum_{i=0}^{(n-3)/2}(r-1)^i для нечётных n и
2\sum_{i=0}^{(n-2)/2}(r-1)^i для чётных.

Если имеет место равенство, то соответствующий граф называется графом Мура. В то время как клетка существует для всяких r > 2 и n > 2, нетривиальных графов Мура гораздо меньше. Из вышеупомянутых клеток, графами Мура являются Граф Петерсена, граф Хивуда, граф Леви и граф Гофмана-Синглтона. Доказано,[1][2][3] что все нечётные случаи исчерпываются n = 5, r = 2, 3, 7 и, возможно, 57, а чётные n = 6, 8, 12.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Bannai, E. and Ito, T. «On Moore Graphs.» J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Ser. A 20, 191—208, 1973
  2. Damerell, R. M. «On Moore Graphs.» Proc. Cambridge Philos. Soc. 74, 227—236, 1973
  3. Hoffman, A. J. and Singleton, R. R. «On Moore Graphs of Diameter 2 and 3.» IBM J. Res. Develop. 4, 497—504, 1960

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]