Тетраэдр

Тетра́эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Свойства тетраэдра

Правильный Тетраэдр
Тип	Правильный многогранник
Грань	Треугольник
Вершин	$4\,\!$
Рёбер	$6\,\!$
Граней	$4\,\!$
Граней при вершине	$3\,\!$
Длина ребра	$a\,\!$
Площадь полной поверхности	$\sqrt3a^2\,\!$
Объём	$\frac{\sqrt2}{12}a^3$
Высота	$\frac{\sqrt6}{3}a$
Радиус вписаной сферы	$\frac{\sqrt6}{12}a$
Радиус описанной сферы	$\frac{\sqrt6}{4}a$
Угол наклона ребра	$\arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi$
Угол наклона грани	$\arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi$
Точечная группа симметрии	$\bar{4}3m\,$, или Td
Двойственный многогранник	Тетраэдр

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Выделяют:

• равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
• ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
• прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
• правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники;
• каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из условий:
  • Существует сфера, касающаяся всех ребер.
  • Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
  • Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
  • Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
  • Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные.
  • Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
• соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны;
• инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках $~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1)$, $~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2)$, $~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3)$, $~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4)$, равен

$~ V = -\frac16 \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}$

Тетраэдры в микромире

• Вода, Лёд, Н₂О
• Молекула метана СН₄
• Молекула аммиака NH₃
• Алмаз C - тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
• Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺.

3

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т.д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.