Тетраэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

[править] Свойства тетраэдра

Правильный Тетраэдр
Тетраэдр
Тип Правильный многогранник
Грань Правильный треугольник
Вершин 4\,\!
Рёбер 6\,\!
Граней 4\,\!
Граней при вершине 3\,\!
Длина ребра a\,\!
Площадь поверхности \sqrt3a^2\,\!
Объём \frac{\sqrt2}{12}a^3
Высота \sqrt\frac{2}{3}a\,\!
Радиус вписаной сферы \frac{\sqrt6}{12}a
Радиус описаной сферы \frac{\sqrt6}{4}a
Угол наклона ребра \arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi
Угол наклона грани \arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi
Точечная группа симметрии Тетраэдрическая (Th)
Двойственный многогранник Тетраэдр

Тетра́эдр — многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.

Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.

Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.

Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

Выделяют:

[править] Объем тетраэдра

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках ~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1), ~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2), ~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3), ~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4), равен

~ V = -\frac16 \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}

[править] Тетраэдры в природе

[править] Микромир

[править] Тетраэдры в технике

  • Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм мостов и т.д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
  • Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
Тетраэдр на Викискладе?
Куб Это незавершённая статья по стереометрии. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80»