Тетраэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Тетраэдр

Тетра́эдр (др.-греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник[1] от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες — «четыре» + др.-греч. ἕδρα — «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника[2]. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства тетраэдра[править | править вики-текст]

  • Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
  • Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части.[3]:216-217

Типы тетраэдров[править | править вики-текст]

Помимо правильного тетраэдра, выделяют следующие специальные виды тетраэдров.

  • Равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники.
  • Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.
  • Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
  • Каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий:[4]
    • существует сфера, касающаяся всех ребер,
    • суммы длин скрещивающихся ребер равны,
    • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
    • окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
    • все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
    • перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
  • Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.
  • Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Объём тетраэдра[править | править вики-текст]

Объём тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках ~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),

~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2), ~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3), ~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4), равен

~ V = \frac16
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & y_1 & z_1 \\
1 & x_2 & y_2 & z_2 \\
1 & x_3 & y_3 & z_3 \\
1 & x_4 & y_4 & z_4
\end{vmatrix}

Тетраэдры в микромире[править | править вики-текст]

  • Правильный тетраэдр образуется при sp3-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника
  • Молекула метана СН4
  • Молекула аммиака NH3
  • Алмаз C — тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
  • Флюорит CaF2, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
  • Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
  • Комплексные ионы [BF4] -, [ZnCl4]2-, [Hg(CN)4]2-, [Zn(NH3)4]2+
  • Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO4]4-

Тетраэдры в живой природе[править | править вики-текст]

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике[править | править вики-текст]

  • Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
  • Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
  • Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр.[5]

Примечания[править | править вики-текст]