Корреляционный интеграл

В теории хаоса, корреляционным интегралом называется усреднённая вероятность того, что состояния системы в два различных момента времени кажутся близкими:

$C(\varepsilon )=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\Theta (\varepsilon -||{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)||),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},$

где $N$ есть объём выборки ${\vec {x}}(i)$, $\varepsilon$ — пороговое расстояние, $||\cdot ||$ — норма (напр., евклидова норма) и $\Theta (\cdot )$ — функция Хевисайда. Если известны лишь значения временного ряда, фазовое пространство может быть восстановлено с использованием вложения по времени задержки (см. теорему Такенса):

${\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),$

Здесь $u(i)$ — временной ряд, $m$ — размерность вложения, а $\tau$ — временная задержка.

Корреляционный интеграл используется для вычисления корреляционной размерности.

Оценка корреляционного интеграла даётся корреляционной суммой:

$C(\varepsilon )={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j=1}^{N}\Theta (\varepsilon -||{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)||),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m}.$

См. также

• Теория хаоса

Примечания

• P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors (неопр.) // Physica. — 1983. — Т. 9D. — С. 189—208. (LINK)