Коэффициент нелинейных искажений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Определение[править | править вики-текст]

Коэффицие́нт нелине́йных искаже́ний (КНИ или KН) — величина для количественной оценки нелинейных искажений, равная отношению среднеквадратичной суммы спектральных компонент выходного сигнала, отсутствующих в спектре входного сигнала, к среднеквадратичной сумме всех спектральных компонент входного сигнала

 
K_\mathrm{H} = \frac{ \sqrt{U_2^2 + U_3^2 + U_4^2 + \ldots + U_n^2+ \ldots } }{ \sqrt{U_1^2+U_2^2 + U_3^2 + \ldots + U_n^2+ \ldots }}

КНИ — безразмерная величина и выражается обычно в процентах. Кроме КНИ, уровень нелинейных искажений часто выражают и через коэффициент гармонических искажений (КГИ или KГ) — величину, выражающую степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др.) и равную отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.


K_{\Gamma} = \frac{ \sqrt{U_2^2 + U_3^2 + U_4^2 + \ldots + U_n^2+ \ldots } }{U_1}

КГИ, так же, как и КНИ, выражается в процентах и связан с ним соотношением

 
K_{\Gamma} = \frac{K_\mathrm{H}}{\sqrt{1 - K^2_\mathrm{H}}}

Очевидно, что для малых значений КГИ и КНИ совпадают в первом приближении. Интересно, что в западной литературе обычно пользуются КГИ, тогда как в отечественной литературе традиционно предпочитают КНИ.

Важно также отметить, что КНИ и КГИ — это лишь количественные меры искажений, но не качественные. Например, цифра КНИ (КГИ) в 3% ничего не говорит о характере искажений, т.е. о том, как в спектре сигнала распределены гармоники, и каков, например, вклад НЧ или ВЧ составляющих. Так, в спектрах ламповых УМЗЧ обычно преобладают низшие гармоники, что часто воспринимается на слух как «тёплый ламповый звук», а в транзисторных УМЗЧ искажения более равномерно распределены по спектру, и он более плоский, что часто воспринимается как «типичный транзисторный звук» (хотя спор этот во многом зависит от личных ощущений и привычек человека).

Примеры расчёта КГИ[править | править вики-текст]

Для многих стандартных сигналов КГИ может быть подсчитан аналитически.[1] Так, для симметричного прямоугольного сигнала (меандра)


K_{\Gamma} \,= \,\sqrt{\frac{\,\pi^2}{8}-1\,}\approx \, 0.483\,=\,48.3\%

Идеальный пилообразный сигнал имеет КГИ


K_{\Gamma} \,= \,\sqrt{\frac{\,\pi^2}{6}-1\,}\approx \, 0.803\,=\,80.3\%

а симметричный треугольный


K_{\Gamma} \,= \,\sqrt{\frac{\,\pi^4}{96}-1\,}\approx\,0.121\,= \, 12.1\%

Несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношием длительности импульса к периоду, равному μ[2] обладает КГИ

 
K_{\Gamma}\,(\mu)=\sqrt{\frac{\mu(1-\mu)\pi^2\,}{2\sin^2\pi\mu}-1\;}\,,\qquad 0<\mu<1
,

который достигает минимума (≈0.483) при μ=0.5, т.е. тогда, когда сигнал становится симметричным меандром.[1] Кстати, фильтрованием можно добиться значительного снижения КГИ этих сигналов, и таким образом получать сигналы, близкие по форме к синусоидальным. Например, симметричный прямоугольный сигнал (меандр) с изначальным КГИ в 48.3%, после прохождения через фильтр Баттерворта второго порядка (с частотой среза, равной частоте основной гармоники) имеет КГИ уже в 5.3%, а если фильтр четвёртого порядка — то КГИ=0.6%.[1] Следует отметить, что чем более сложный сигнал на входе фильтра и чем более сложный сам фильтр (а точнее, его передаточная функция), тем более громоздкими и трудоёмкими будут вычисления КГИ. Так, стандартный пилообразный сигнал, прошедший через фильтр Баттерворта первого порядка, имеет КГИ уже не 80.3% а 37.0%, который в точности даётся следующим выражением


K_{\Gamma} \,= \,
\sqrt{\frac{\,\pi^2}{3} - \pi\,\mathrm{cth}\,\pi\,}\,\approx\,0.370\,= \, 37.0\%

А КГИ того же сигнала, прошедшего через такой же фильтр, но второго порядка, уже будет даваться достаточно громоздкой формулой[1]

 
K_{\Gamma}\,=
\sqrt{\pi\,\frac{\,\mathrm{ctg}\,\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\cdot\,\mathrm{cth}^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}
-\,\mathrm{ctg}^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\cdot\,\mathrm{cth}\,\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}
-\,\mathrm{ctg}\,\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}} - \,\mathrm{cth}\,\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\;}
{\sqrt{2\,}\left(\mathrm{ctg}^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}
+\,\mathrm{cth}^{2\!}\dfrac{\pi}{\sqrt{2\,}}\!\right)}
\,+\,\frac{\,\pi^2}{3} \,-\, 1\;} 
\;\approx\;0.181\,= \, 18.1\%

Если же рассматривать вышеупомянутый несимметричный прямоугольный импульсный сигнал, прошедший через через фильтр Баттерворта p-ого порядка, то тогда

 
K_{\Gamma}\,(\mu, p)= \csc\pi\mu\,\cdot \!\sqrt{\mu(1-\mu)\pi^2-\,\sin^2\!\pi\mu\,
-\,\frac{\,\pi}{2}\sum_{s=1}^{2p} \frac{\,\mathrm{ctg}\,\pi z_s}{z_s^2} 
\prod\limits_{\scriptstyle l=1\atop\scriptstyle l\neq s}^{2p}\!\frac{1}{\,z_s-z_l\,}\,
+\,\frac{\,\pi}{2}\,\mathrm{Re}\sum_{s=1}^{2p} \frac{e^{i\pi z_s(2\mu-1)}}{z_s^2\sin \pi z_s} 
\prod\limits_{\scriptstyle l=1\atop\scriptstyle l\neq s}^{2p}\!\frac{1}{\,z_s-z_l\,}\,}

где 0<μ<1 и

 
z_l\equiv \exp{\frac{i\pi(2l-1)}{2p}}\,, \qquad l=1, 2,\ldots, 2p

подробности вычислений — см. Ярослав Благушин и Эрик Моро[1].

Измерения[править | править вики-текст]

Типовые значения КНИ и КГИ[править | править вики-текст]

Ниже приведены некоторые типовые значения для КНИ, и в скобках, для КГИ.

  • 0 % (0%) — форма сигнала представляет собой идеальную синусоиду.
  • 3 % (3 %) — форма сигнала отлична от синусоидальной, но искажения незаметны на глаз.
  • 5 % (5 %) — отклонение формы сигнала от синусоидальной заметной на глаз по осциллограмме.
  • 10 % (10 %) — стандартный уровень искажений, при котором считают реальную мощность (RMS) УМЗЧ, заметен на слух.
  • 12 % (12 %) — идеально симметричный треугольный сигнал.
  • 21 % (22 %) — «типичный» сигнал трапецеидальной или ступенчатой формы.[3]
  • 43 % (48 %) — идеально симметричный прямоугольный сигнал (меандр).
  • 63 % (80 %) — идеальный пилообразный сигнал.

См. также[править | править вики-текст]

Литература, ссылки, примечания[править | править вики-текст]

  • Справочник по радиоэлектронным устройствам: В 2-ух томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
  • Горохов П. К. Толковый словарь по радиоэлектронике. Основные термины — М: Рус. яз., 1993
  1. 1 2 3 4 5 Iaroslav Blagouchine and Eric Moreau. Analytic Method for the Computation of the Total Harmonic Distortion by the Cauchy Method of Residues. IEEE Transactions on Communications, vol. 59, no. 9, pp. 2478—2491, September 2011.
  2. Т.е μ — это обратная скважность, или то, что в англоязычной литературе называется duty cycle (но не в процентах, а в абсолютной величине); другими словами, μ — это то, что во франкоязычной литературе называется rapport cyclique.
  3. КНИ/КГИ сигнала трапецеидальной формы может варьироваться, в зависимости от высоты отсечки, от КНИ/КГИ прямоугольного меандра до КНИ/КГИ симметричного треугольного сигнала, т.е. КГИ такого сигнала лежит в интервале 12—48%.

Дополнительные ссылки[править | править вики-текст]