Критерий Краскела — Уоллиса

Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона — Манна — Уитни. Критерий Краскела — Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Известен также под названиями: H-критерий Краскела — Уоллиса, односторонний дисперсионный анализ Краскела — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis one-way analysis of variance), тест Крускала — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis test).

Примеры задач

Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом «Каковы шансы на победу сборной России?» до начала чемпионата. Вторая выборка —- после первой игры, третья — после второго матча и т. д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибальной шкале (1 —- «никаких перспектив», 10 — «отвезти в Россию кубок —- дело времени»). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.

Описание критерия

Заданы $k$ выборок:

$x_1^{n_1}=\{x_{11},\;\ldots,\;x_{1n_1}\},\;\ldots,\;x_k^{n_k}=\{x_{k1},\;\ldots,\;x_{kn_k}\}$.

Объединённая выборка будет иметь вид:

$x=x_1^{n_1}\cup x_2^{n_2}\cup\ldots\cup x_k^{n_k}.$

Дополнительные предположения:

1. обе выборки простые, объединённая выборка независима;
2. выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F_1(x),\;\ldots,\;F_k(x)$.

Проверяется нулевая гипотеза $H_0\colon F_1(x)=\ldots=F_k(x)$ при альтернативе $H_1\colon F_1(x)=F_2(x-\Delta_1)=\ldots=F_k(x-\Delta_{k-1})$.

Упорядочим все $N=\sum_{i=1}^k n_i$ элементов выборок по возрастанию и обозначим $R_{ij}$ ранг $j$-го элемента $i$-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения двух сравниваемых выборок имеет вид:

$H=\sum_{i=1}^k\left(1-\frac{n_i}{N}\right)\left\{\frac{\bar{R}_i-\dfrac{N+1}{2}}{\sqrt{\dfrac{(N-n_i)(N+1)}{12n_i}}}\right\}^2 = \frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k\left(\bar{R}_i-\frac{N+1}{2}\right)^2 =$

$=\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k\frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1)$,

где

$R_i=\sum_{j=1}^k R_{ij}$;

$\bar{R}_i=\frac{1}{n_i}R_i$.

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости $\alpha$, если $H\geqslant H_\alpha$, где $H_\alpha$ — критическое значение, при $k\leqslant 5$ и $n_i\leqslant 8$ вычисляемое по таблицам. При бо́льших значениях применимы различные аппроксимации.

Аппроксимация Краскела — Уоллиса

Пусть

$M=\frac{N^3-\displaystyle{\sum_{i=1}^k n_i^3}}{N(N+1)}$;

$\nu_1=(k-1)\frac{(k-1)(M-k+1)-V}{\dfrac{1}{2}MV}$;

$\nu_2=\frac{M-k+1}{k-1}\nu_1$;

$V=2(k-1)-\frac{2\left\{3k^2-6k+N(2k^2-6k+1)\right\}}{5N(N+1)}-\frac{6}{5}\sum_{i=1}^k\frac{1}{n_i}$.

Тогда статистика $F=\frac{H(M-k+1)}{(k-1)(M-H)}$ будет иметь при отсутствии сдвига $F$-распределение с $\nu_1$ и $\nu_2$ степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости $\alpha$, если $F>F_{\alpha}(\nu_1,\;\nu_2)$.

Аппроксимация Имана — Давенпорта

В соответстви с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью $\alpha$, если $J\geqslant J_\alpha$, где $J=\frac{H}{2}\left(1+\frac{N-k}{N-1-H}\right)$; $J_\alpha=\left\{(k-1)F_\alpha(k-1;\;N-l)+\chi_\alpha^2(k-1)\right\}$, $F_\alpha(f_1;\;f_2)$ и $\chi_\alpha^2(a)$ — соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Краскела — Уоллиса. При наличии связанных рангов (то есть когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику $H^*=H\left\{1-\left(\sum_{j=1}^q \frac{T_j}{N^3-N} \right) \right\} ^{-1}$, где $T_j=t_j^3-t_j$; $t_j$ — размер $j$-й группы одинаковых элементов; $q$ — количество групп одинаковых элементов. При $n_i\geqslant 20$ справедлива аппроксимация распределения статистики $H$; $\chi^2$-распределением с $f=k-1$ степенями свободы, то есть нулевая гипотеза отклоняется, если $H\geqslant\chi_\alpha^2(k-1)$.

См. также

• Критерий Кохрена

Литература

• Kruskal W. H., Wallis W. A. Use of ranks in one-criterion variance analysis. // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 № 260. — Pp. 583—621.
• Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. — М.: Финансы и статистика, 1985.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 466—468 с.

Ссылки

• Критерий Краскела — Уоллиса