Критерий Краскела — Уоллиса

Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона — Манна — Уитни. Критерий Краскела — Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Известен также под названиями: H-критерий Краскела — Уоллиса, однофакторный дисперсионный анализ Краскела — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis one-way analysis of variance), тест Крускала — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis test). Назван в честь американских математиков Уильяма Краскела и Аллена Уоллиса.

Примеры задач

Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом «Каковы шансы на победу сборной России?» до начала чемпионата. Вторая выборка — после первой игры, третья — после второго матча и т. д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибалльной шкале (1 — «никаких перспектив», 10 — «отвезти в Россию кубок — дело времени»). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.

Описание критерия

Заданы $k$ выборок:

$x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k}^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}$.

Объединённая выборка будет иметь вид:

$x=x_{1}^{n_{1}}\cup x_{2}^{n_{2}}\cup \ldots \cup x_{k}^{n_{k}}.$

Дополнительные предположения:

1. все выборки простые, объединённая выборка независима;
2. выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)$.

Проверяется нулевая гипотеза $H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)$ при альтернативе $H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1})$.

Упорядочим все $N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}$ элементов выборок по возрастанию и обозначим $R_{ij}$ ранг $j$-го элемента $i$-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения двух сравниваемых выборок имеет вид:

$H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\{{\frac {{\bar {R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}}}\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R}}_{i}-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}=$

$={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}}}-3(N+1)$,

где

$R_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}$;

${\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}$.

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости $\alpha$, если $H\geqslant H_{\alpha }$, где $H_{\alpha }$ — критическое значение, при $k\leqslant 5$ и $n_{i}\leqslant 8$ вычисляемое по таблицам. При бо́льших значениях применимы различные аппроксимации.

Аппроксимация Краскела — Уоллиса

Пусть

$M={\frac {N^{3}-\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{3}}}{N(N+1)}}$;

$\nu _{1}=(k-1){\frac {(k-1)(M-k+1)-V}{{\dfrac {1}{2}}MV}}$;

$\nu _{2}={\frac {M-k+1}{k-1}}\nu _{1}$;

$V=2(k-1)-{\frac {2\left\{3k^{2}-6k+N(2k^{2}-6k+1)\right\}}{5N(N+1)}}-{\frac {6}{5}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}}}$.

Тогда статистика $F={\frac {H(M-k+1)}{(k-1)(M-H)}}$ будет иметь при отсутствии сдвига $F$-распределение с $\nu _{1}$ и $\nu _{2}$ степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости $\alpha$, если $F>F_{\alpha }(\nu _{1},\;\nu _{2})$.

Аппроксимация Имана — Давенпорта

В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью $\alpha$, если $J\geqslant J_{\alpha }$, где $J={\frac {H}{2}}\left(1+{\frac {N-k}{N-1-H}}\right)$; $J_{\alpha }=\left\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;\;N-k)+\chi _{\alpha }^{2}(k-1)\right\}$, $F_{\alpha }(f_{1};\;f_{2})$ и $\chi _{\alpha }^{2}(a)$ — соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Краскела — Уоллиса. При наличии связанных рангов (то есть когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику $H^{*}=H\left\{1-\left(\sum _{j=1}^{q}{\frac {T_{j}}{N^{3}-N}}\right)\right\}^{-1}$, где $T_{j}=t_{j}^{3}-t_{j}$; $t_{j}$ — размер $j$-й группы одинаковых элементов; $q$ — количество групп одинаковых элементов. При $n_{i}\geqslant 20$ справедлива аппроксимация распределения статистики $H$; $\chi ^{2}$-распределением с $f=k-1$ степенями свободы, то есть нулевая гипотеза отклоняется, если $H\geqslant \chi _{\alpha }^{2}(k-1)$.

См. также

• Критерий Кохрена

Литература

• Kruskal W. H., Wallis W. A. Use of ranks in one-criterion variance analysis. // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 № 260. — pp. 583—621.
• Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. — М.: Финансы и статистика, 1985.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 466—468 с.

Ссылки

• Критерий Краскела — Уоллиса