Лемма Безиковича о покрытиях

Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали.

Доказана Абрамом Безиковичем в 1945 году.

Формулировка

Для любого натурального $n$ существует такое натуральное $M=M(n)$, что верно следующее. Пусть ${\mathfrak {B}}$ — произвольное множество замкнутых шаров в $\mathbb {R} ^{n}$ с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров ${\mathfrak {B}}'\subset {\mathfrak {B}}$, такой что центр любого шара из ${\mathfrak {B}}$ принадлежит хотя бы одному шару из ${\mathfrak {B}}'$ и при этом семейство ${\mathfrak {B}}'$ можно разбить на $M$ подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Замечания

Восемь попарно пересекающихся кругов не содержащих центры друг друга.

• Можно предположить, что $M(n)=5^{n}$.
• Оптимальная константа не известна даже для плоскости; нижняя оценка 8 (следует из примера на рисунке) и верхняя 19.

Применения

Область применений леммы Безиковича близка к области применений леммы Витали. Но лемма Безиковича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств, включая евклидово пространство, в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер $\mu$ обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы $C$ и произвольного шара $B$ имеем

$\mu (2\cdot B)\leq C\cdot \mu (B)$.

Вариации и обобщения

• Достаточным условием для выполнения леммы Безиковича в метрическом пространстве является так называемая ограниченность по направлениям. Это свойство ввёл в рассмотрение Герберт Федерер.

Литература

• С. В. Иванов, Введение в геометрическую теорию меры лекции 2008.
• Besicovitch, A. S. (1945), "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 41 (02): 103—110, doi:10.1017/S0305004100022453.
  • "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 42: 205—235, 1946.
• DiBenedetto, E (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5.