Максимальные и минимальные элементы

Элемент $M$ частично упорядоченного множества $A$ называется максимальным элементом, если

$\forall a\in A\;(a\geqslant M\Rightarrow a=M).$

Аналогично, элемент $m\in A$ называется минимальным, если

$\forall a\in A\;(a\leqslant m\Rightarrow a=m).$

Записывается как $M=\max A$ (соотв. свойство минимальности записывается как $m=\min A$ ). В случае линейно упорядоченного множества (например, в случае подмножества вещественной прямой $\mathbb {R}$ с естественным порядком) понятие максимального (соотв. минимального) элемента совпадает с понятием наибольшего (соотв. наименьшего) элемента, но в общем случае эти понятия различаются: наибольший элемент всегда является максимальным, обратное не всегда верно, так как для максимального элемента могут существовать несравнимые с ним элементы.

Не существует максимального элемента подмножества $\mathbb {R}$ , если оно не ограничено сверху. Даже если это множество ограничено сверху, максимального элемента также может не существовать (хотя и инфимум, и супремум существуют для любого ограниченного множества). Например, для интервала $A=\left({a,b}\right)$ не существует ни минимального, ни максимального элемента.