Линейно упорядоченное множество

Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов $a$ и $b$ имеет место $a\leqslant b$ или $b\leqslant a$.

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения

Сечением линейно упорядоченного множества $P$ называется разбиение его на два подмножества $A$ и $B$ так, что $A\cup B=P$, $A\cap B=\emptyset$ и для любых $a\in A$ и $b\in B$, $a\leqslant b$ Классы $A$ и $B$ называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

• скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
• дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента;
• щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество $D$ линейно упорядоченного множества $P$ называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества $P$ содержит элементы, принадлежащие $D$.

Свойства

• Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
• Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).
• Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
• Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка $[0, 1]$ с порядком, унаследованным от $\mathbb{R}$.
• Решётка $L$ изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.