Вещественное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия [показать стабильную версию] (сравнить)

Данная версия страницы не проверялась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю проверенную или т. н. стабильную версию от 1 октября 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 4 правки.

Перейти к: навигация, поиск

Представление вещественных чисел на числовой оси

Веще́ственные, или действи́тельные^[1] числа — математические объекты, введённые для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа. С алгебраической точки зрения, поле вещественных чисел можно рассматривать как расширение поля рациональных чисел, в котором любая фундаментальная последовательность имеет предел (см. ниже).

Множество вещественных чисел обозначается $\R$ (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

[править] Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

[править] Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением $\leqslant$ , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

Отношение является отношением линейного порядка:
- Для любых $a,\;b\in\mathbb{R}$ $a\leqslant b$ или $b\leqslant a$ ;
- Если $a\leqslant b$ и $b\leqslant a$ , то $a = b$ для любых $a,\;b\in\mathbb{R}$ ;
- Если $a\leqslant b$ и $b\leqslant c$ , то $a\leqslant c$ для любых $a,\;b,\;c\in\mathbb{R}$ ;
Порядок согласован со структурой поля:
- Если $a\leqslant b$ , то $a+c\leqslant b+c$ для любых $a,\; b,\;c\in\mathbb{R}$ ;
- Если $0\leqslant a$ и $0\leqslant b$ , то $0\leqslant ab$ .
Порядок на удовлетворяет условию полноты:
- Пусть $A,\;B\subset\mathbb{R}$ — непустые подмножества, такие что $a\leqslant b$ для любых $a\in A$ и $b\in B$ , тогда существует $c\in\mathbb{R}$ такое, что $a\leqslant c\leqslant b$ .

[править] Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества $A\subset \Bbb{R}$ (то есть такого, что для всех $x$ из $A$ все $x\leqslant a$ для некоторого $a\in\mathbb{R}$ ) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число $c\in\mathbb{R}$ такое, что

Для всех $x$ из $A$ все $x\leqslant c$
Если свойству (1) удовлетворяет также число $b\in\Bbb{R}$ , то $c\leqslant b$ .

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля $\Bbb{R}$ .

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

[править] Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа $\Bbb{R}$ могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел $\Bbb{Q}$ по отношению к обычной метрике $d(r,\;q)=|r-q|$ .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел ${r i}$ . На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: ${r i} + {q i} = {r i + q i}$ и $\{r_i\} \cdot \{q_i\} = \{r_i \cdot q_i\}$ .

Две такие последовательности $\{r_i\}\,\!$ и $\{q_i\}\,\!$ считаются эквивалентными $(\{r_i\} \sim \{q_i\})$ , если $|r_i-q_i|\to 0$ при $i\to \infty$ .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

[править] Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ на два подмножества $A$ и $B$ такие, что:

$a\leqslant b$ для любых $a\in A$ и $b\in B$ ;
$B$ не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу $\sqrt 2$ соответствует дедекиндово сечение, определяемое $A=\{x\in\mathbb Q\mid x<0$ или $x^2\leqslant2\}$ и $B=\{x\in\mathbb Q\mid x>0$ и $x 2 > 2}$ . Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить $\sqrt 2$ мы рассекли множество на две части: все числа, что левее $\sqrt 2$ и все числа, что правее $\sqrt 2$ ; соотвеетственно, $\sqrt 2$ равно точной нижней грани множества $B$ .

[править] Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида $\pm d_{-k} d_{-k+1}\ldots d_{0}, d_{1} d_{2}\ldots$ , где $d i$ являются десятичными цифрами, то есть $0\leqslant d_i< 10$ .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид $d999\ldots$ и $(d+1)000\ldots$ , где $0\leqslant d\leqslant8$ , либо если это «нулевые» последовательности (все $d i$ равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда $\pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}$ .

[править] Примеры

Рациональные числа — 32, 36/29.
Иррациональные числа — $π$ , $\sqrt 2$ .

[править] Связь с рациональными числами

Очевидно, что на числовой прямой рациональные числа располагаются вперемешку с вещественными, причём множество вещественных чисел в известном смысле «плотнее» множества рациональных. Возникает закономерный вопрос, насколько часто на числовой прямой попадаются рациональные и вещественные числа и можно ли одни числа приблизить другими. Ответ на этот вопрос дают три леммы, основанные, в основном, на аксиоме Архимеда.^[2]

Лемма 1. Для любого вещественного числа и любого наперёд взятого положительного рационального расстояния найдётся пара рациональных чисел, отстоящих друг от друга менее, чем на это расстояние, таких что вещественное число лежит на отрезке между этими рациональными числами.

$\forall a \in \mathbb{R} ~ \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+ ~ \exists q_1,q_2 \in \mathbb{Q} ~ (q_1 \leq a \leq q_2) \land (q_2 - q_1 < \varepsilon)$

Эта лемма говорит о том, что любое вещественное число можно с заданной точностью с двух сторон приблизить рациональными числами.

Лемма 2. Между любыми двумя различными вещественными числами содержится рациональное число.

$\forall a,b \in \mathbb{R} ~ \exists q \in \mathbb{Q} ~ a \neq b \Rightarrow a < q < b$

Очевидным следствием из этой леммы является тот факт, что между любыми двумя несовпадающими вещественными числами содержится целое бесконечное множество рациональных. Кроме того, ещё более очевидно, что между любыми двумя различными рациональными числами содержится вещественное.

Лемма 3. Приближение вещественного числа рациональными, описанное в лемме 1, идентифицирует вещественное число единственным образом.

$\forall a,b \in \mathbb{R} ~ \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+ ~ \exists q_1,q_2 \in \mathbb{Q} ~ (q_1 \leq a \leq q_2) \land (q_1 \leq b \leq q_2) \land (q_2 - q_1 < \varepsilon) \Rightarrow a = b$

Эти леммы прежде всего говорят о том, что множество вещественных чисел не такое «плотное» по сравнению с множеством рациональных чисел, как может показаться. Особенно ярко это иллюстрирует лемма 2. Все три леммы активно используются для доказательства различных теорем, связанных с операциями сложения и умножения вещественных чисел.

[править] Несчётность множества

Изначально вещественные числа были естественным обобщением рациональных, но у них впервые было обнаружено свойство несчётности, которое говорит о том, что множество вещественных чисел нельзя занумеровать, т. е. не существует биекции между множествами вещественных и натуральных чисел. Чтобы показать несчётность всего множества вещественных чисел, достаточно показать несчётность интервала $\left(0, 1 \right)$ .

Пусть все числа указанного промежутка уже занумерованы некоторым образом. Тогда их можно выписать в следующем виде:

$x_1 = 0,a_{11}a_{12} \cdots a_{1m} \cdots$

$x_2 = 0,a_{21}a_{22} \cdots a_{2m} \cdots$

$\cdots$

$x_k = 0,a_{k1}a_{k2} \cdots a_{km} \cdots$

$\cdots$

Здесь $a i j$ — $j$ -ая цифра $i$ -ого числа. Очевидно, что все числа указанного вида действительно принадлежат рассматриваемому промежутку, если только в каждом числе не все цифры сразу являются нулями или девятками.

Далее предлагается рассмотреть следующее число:

$x = 0, d_1 d_2 \cdots d_m \cdots$

Пусть каждая цифра $d i$ этого числа удовлетворяет следующим трём свойствам:

$d_i \neq 0$
$d_i \neq 9$
$d_i \neq a_{ii}$

Такое число действительно существует на указанном промежутке, так как оно является вещественным, не совпадает ни с нулём, ни с единицей, а десятичных цифр достаточно, чтобы третье свойство выполнялось. Кроме этого, $x$ интересно тем фактом, что оно не совпадает ни с одним из чисел $x j$ , выписанных выше, ведь иначе $j$ -ая цифра числа $x$ совпала бы с $j$ -ой цифрой числа $x j$ . Пришли к противоречию, заключающемуся в том, что как бы числа рассматриваемого промежутка ни были занумерованы, всё равно найдётся число из этого же промежутка, которому не присвоен номер.^[2]

Это свидетельствует о том, что множество вещественных чисел не является счётным. Его мощность называется мощностью континуума.

[править] Следствия

Следствия из факта несчётности множества вещественных чисел: ^[2]

Мощность континуума больше мощности счётных множеств.

$|\mathbb{R}| > \aleph_0$
Между нулём и единицей существуют иррациональные числа.

$\exists x \in \mathbb{I} \colon x \in \left( 0, 1 \right)$
Множество иррациональных чисел несчётно.

$|\mathbb{I}| > \aleph_0$

[править] Примечания

↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.
↑ ¹ ² ³ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

[править] Ссылки

Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

[править] См. также

Комплексные числа

[0] Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

[ilyin-1] ¹ ² ³ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 44 — 45, 63 — 64. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

[1]

[2]

п·о·р Числа
Простые	натуральные \| целые \| рациональные \| иррациональные \| вещественные \| p-адические \| алгебраические \| трансцендентные
Составные	комплексные \| дуальные \| двойные \| кватернионы \| числа Кэли (октавы) \| седенионы \| гиперкомплексные

Вещественное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определения

[править] Аксиоматическое определение

[править] Примечания

[править] Пополнение рациональных чисел

[править] Дедекиндовы сечения

[править] Бесконечные десятичные дроби

[править] Примеры

[править] Связь с рациональными числами

[править] Несчётность множества

[править] Следствия

[править] Примечания

[править] Ссылки

[править] См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках