Матрица Хессенберга

В линейной алгебре, матрицами Хессенберга называют «почти» треугольные матрицы.

Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица $H\in\mathbb{C}^{n\times n},$ у которой все элементы лежащие ниже первой поддиагонали равны нулю, то есть $h_{ij} = 0 \ \forall i > j + 1.$

$H = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\ h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & h_{2n}\\ 0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & h_{nn-1} & h_{nn} \end{pmatrix}$

Аналогично определяется нижняя матрица Хессенберга, как квадратная матрица, при транспонировании которой получается верхняя матрица Хессенберга:

$H = \begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & 0 & \cdots & 0\\ h_{21} & h_{22} & h_{23} &\ddots & \vdots \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & h_{nn-1}\\ h_{n1} & h_{n2} & h_{n3} & \cdots & h_{nn} \end{pmatrix}$

Матрица являющаяся одновременно и верхней, и нижней матрицами Хессенберга является трёхдиагональной.

Такие матрицы были названы в честь немецкого математика Карла Хессенберга.

Матрицы Хессенберга получаются в методах подпространства Крылова в процессе построения ортогональных базисов, а также в задаче на нахождение собственных значений матрицы QR-методом.