Ортогональный базис

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай[править | править исходный текст]

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

 ( e_i, e_j ) = \delta_{ij}\

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (i\ne j), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

\ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + ... + a_n \mathbf{e_n}

можно найти так:

\ a_i = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e_i})}{(\mathbf{e_i},\mathbf{e_i})} .

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора \mathbf{a} квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай[править | править исходный текст]

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов e_1,e_2,...,e_n,... гильбертова пространства X такая, что любой элемент x\in X однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n ,

называемого рядом Фурье элемента x по системе \{e_n\}.

Часто базис \{e_n\} выбирается так, что |e_n|=1, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа a_n, называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированному базису \{e_n\}, имеют вид

a_n=( x,e_n ).

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система \{e_n\} была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел \{a_n\} такая, что \sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом \{e_n\} ряд \sum_{n=1}^\infty a_ne_n — сходится по норме к некоторому элементу x\in X. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству l_2 (теорема Рисса — Фишера).

Примеры[править | править исходный текст]

  • Стандартный базис e_1=(1, 0,\ldots,0)^\mathrm{T}, e_2=(0, 1,\ldots, 0)^\mathrm{T}, \ldots e_n=(0, 0,\ldots,1)^\mathrm{T} в n-мерном евклидовом пространстве Rn является ортонормированным.
  • Множество \{f_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}, n \in \mathbb{Z}\} образует ортонормированый базис в L2([-π, π]).

Литература[править | править исходный текст]

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.


См. также[править | править исходный текст]