Матрицы Дирака

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ма́трицы Ди́рака (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

Определение[править | править исходный текст]

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I,

где \eta^{\mu \nu}метрика Минковского сигнатуры \left(+---\right), I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:


\gamma^0 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix},
\quad
\gamma^1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\quad
\gamma^2 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
\quad
\gamma^3 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Пятая гамма-матрица,  \gamma^5 [править | править исходный текст]

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

 \gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} (в представлении Дирака).


\gamma^5 можно записать в альтернативном виде:

 \gamma^5 = \frac{i}{4!} \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta},

где  \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta} тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

\psi_L= \frac{1-\gamma^5}{2}\psi, \qquad\psi_R= \frac{1+\gamma^5}{2}\psi .

Некоторые свойства \gamma^5:

(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5. \,
  • Собственные значения равны ±1, поскольку
(\gamma^5)^2 = I. \,
  • Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:
\left\{ \gamma^5,\gamma^\mu \right\} =\gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0. \,

Блочная структура[править | править исходный текст]

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ1, σ2, σ3, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:


\gamma^0 = \begin{bmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{bmatrix}, \quad 
\gamma^1 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_1\\ -\sigma_1 & 0\end{bmatrix}, \quad
\gamma^2 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_2\\ -\sigma_2 & 0\end{bmatrix}, \quad
\gamma^3 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_3\\ -\sigma_3 & 0\end{bmatrix}.

В представлении Вейля \gamma^k остаются теми же, но \gamma^0 отличается, поэтому \gamma^5 тоже изменена:

\gamma^0 = \begin{bmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{bmatrix},\quad \gamma^k = \begin{bmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{bmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{bmatrix} -I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}.

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

\psi_L=\frac12(1-\gamma^5)\psi=\begin{bmatrix} I & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}\psi,\quad \psi_R=\frac12(1+\gamma^5)\psi=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\0 & I \end{bmatrix}\psi.

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

\gamma^0 = \begin{bmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{bmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{bmatrix}
\gamma^2 = \begin{bmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{bmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{bmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{bmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{bmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{bmatrix}.

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

Тождества[править | править исходный текст]

Num Identity
1 \displaystyle\gamma^\mu\gamma_\mu=4 I
2 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma_\mu=-2\gamma^\nu
3 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma_\mu=4\eta^{\nu\rho} I
4 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma_\mu=-2\gamma^\sigma\gamma^\rho\gamma^\nu
5 \displaystyle\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\lambda = \eta^{\mu\nu}\gamma^\lambda + \eta^{\nu\lambda}\gamma^\mu - \eta^{\mu\lambda}\gamma^\nu - i\epsilon^{\sigma\mu\nu\lambda}\gamma_\sigma\gamma^5
Num Identity
0 \operatorname{tr} (\gamma^\mu) = 0
1 Любое произведение нечётного числа \gamma_\mu имеет нулевой след.
2 \operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}
3 \operatorname{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma}-\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}+\eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})
4 \operatorname{tr}(\gamma^5)=\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5) = 0
5 \operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5) = 4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}


Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
  • Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2002. — 784 с.
  • W. Pauli (1936). «Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac». Ann. Inst. Henri Poincaré 6: 109.