Матрицы Дирака

Ма́трицы Дира́ка (также известные как га́мма-ма́трицы) — набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике.

Определение

Матрицами Дирака называется любой набор матриц, удовлетворяющих уравнению

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I,$

где $\eta ^{\mu \nu }$ — метрика Минковского сигнатуры $\left(+---\right),$ I — единичная матрица, фигурные скобки обозначают антикоммутатор.

Один из возможных способов выбрать матрицы Дирака в четырёхмерном пространстве такой:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$

(Дираковское представление; используются также представления Вейля и Майораны).

Пятая гамма-матрица, $\gamma ^{5}$

Полезно определить произведение четырёх гамма-матриц следующим образом:

$\gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ (в представлении Дирака).

$\gamma ^{5}$ можно записать в альтернативном виде:

$\gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta },$

где $\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }$ — тензор Леви-Чивиты.

Эта матрица полезна при обсуждении хиральности в квантовой механике. Так, дираковское спинорное поле можно спроецировать на его левую или правую компоненту:

$\psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi$.

Некоторые свойства $\gamma ^{5}$:

• Эрмитовость:

$(\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.$

• Собственные значения равны ±1, поскольку

$(\gamma ^{5})^{2}=I.$

• Антикоммутирует с четырьмя другими гамма-матрицами:

$\left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.$

Блочная структура

Матрицы Дирака могут быть компактно записаны как блочные матрицы с использованием матриц Паули σ₁, σ₂, σ₃, дополненных единичной матрицей I. В представлении Дирака:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{1}\\-\sigma _{1}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\-\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{3}\\-\sigma _{3}&0\end{bmatrix}}.$

В представлении Вейля $\gamma ^{k}$ остаются теми же, но $\gamma ^{0}$ отличается, поэтому $\gamma ^{5}$ тоже изменена:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}-I&0\\0&I\end{bmatrix}}.$

Представление Вейля имеет то преимущество, что в нём хиральные проекции принимают простую форму:

$\psi _{L}={\frac {1}{2}}(1-\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix}}\psi ,\quad \psi _{R}={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{5})\psi ={\begin{bmatrix}0&0\\0&I\end{bmatrix}}\psi .$

Существует также представление Майораны, в котором все гамма-матрицы мнимые, а спиноры вещественные:

$\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{bmatrix}i\sigma _{3}&0\\0&i\sigma _{3}\end{bmatrix}}$

$\gamma ^{2}={\begin{bmatrix}0&-\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{1}&0\\0&-i\sigma _{1}\end{bmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{bmatrix}\sigma _{2}&0\\0&-\sigma _{2}\end{bmatrix}}.$

В современной науке основным является определяющее свойство гамма-матриц, а не их числовое представление.

Тождества

№	Тождество
1	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I$
2	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }$
3	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I$
4	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }$
5	$\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\lambda }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\lambda }+\eta ^{\nu \lambda }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \lambda }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \lambda }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}$

№	Тождество
0	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0$
1	Любое произведение нечётного числа $\gamma _{\mu }$ имеет нулевой след.
2	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }$
3	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho })$
4	$\operatorname {tr} (\gamma ^{5})=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5})=0$
5	$\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5})=4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$

Также для матриц Дирака выполняются тождества Фирца.

Определение гамма-матриц обобщается на пространства других размерностей, где их количество может отличаться.

См. также

• Уравнение Дирака
• Кватернионы
• Тождества Фирца

Литература

• Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
• Пескин М., Шредер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2002. — 784 с.
• W. Pauli. Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac (фр.) // Ann. Inst. Henri Poincaré : magazine. — 1936. — Vol. 6. — P. 109.