Матрицы Паули
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид
Вместо σ1,σ2,σ3 иногда используют обозначение σx,σy,σz.
Часто также употребляют матрицу
совпадающую с единичной матрицей.
Матрицы Паули вместе с матрицей σ0 образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).
Содержание |
[править] Свойства
[править] Основные соотношения
- Эрмитовость:
- Равенство нулю следа:
где I = σ0 — единичная матрица размерности 2×2.- Определитель матриц Паули равен −1.
- Алгебра, порождённая элементами σ0, − iσx, − iσy, − iσz, изоморфна алгебре кватернионов
.
Правила умножения матриц Паули
для 
Эти правила умножения можно переписать в компактной форме
,
где δij — символ Кронекера, а εijk — символ Леви-Чивиты.
Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения
![\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\epsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0.
\end{matrix}](http://upload.wikimedia.org/math/2/a/3/2a343597e27f6ceee9679ac413e12c21.png)
Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.
[править] Связь с алгебрами Ли
Коммутационные соотношения матриц 
совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц 
Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства, этим объясняется важность матриц Паули для физики.
[править] Применение в физике
В квантовой механике матрицы 
представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).
[править] Ссылки
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5
