Матрицы Паули

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид


\sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},

\sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},

\sigma_3 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.

Вместо \sigma_1, \sigma_2,\sigma_3 иногда используют обозначение \sigma_x, \sigma_y,\sigma_z.

Часто также употребляют матрицу


\sigma_0 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix},

совпадающую с единичной матрицей.

Матрицы Паули вместе с матрицей \sigma_0 образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Свойства[править | править вики-текст]

Основные соотношения[править | править вики-текст]

Правила умножения матриц Паули

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,\,\!
\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,\,\!
\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,\,\!
\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i\! для i\ne j.\,\!

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad  i,j,k = 1, 2, 3,

где \delta_{ij} — символ Кронекера, а εijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0.
\end{matrix}

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Связь с алгебрами Ли[править | править вики-текст]

Коммутационные соотношения матриц i\sigma_k\! совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц i\sigma_k\;. Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике[править | править вики-текст]

В квантовой механике матрицы i\sigma_j/2\! представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули[1] как

(s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}

(s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}

~(s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.

Литература[править | править вики-текст]