Минимальная поверхность

Минимальная поверхность — поверхность, у которой средняя кривизна $H$ равна нулю во всех точках.

Примеры

• Геликоид
• Катеноид

История

Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу, 1768, который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде $z=f(x,y)$, Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.

Позже Монж, 1776 обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию $H=0$, и поэтому за поверхностями с $H=0$ закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие $H=0$ представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать 2-ю вариацию площади поверхности.

См. также

• Изотермическая поверхность

Ссылки

• Евгений Степанов видео лекции: Минимальные поверхности (рус.)