Модель Лотки — Вольтерры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Модель Лотки — Вольтерра»)
Перейти к: навигация, поиск

Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (распространено неправильное название — модель Ло́тки — Вольтерра́[1]) — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами (Одум, 1986).

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

\frac{dx}{dt}=(\alpha -\beta y)x,
\frac{dy}{dt}=(-\gamma +\delta x) y,

где x — количество жертв, y — количество хищников, t — время, \alpha, \beta, \gamma, \delta — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение системы уравнений[править | править вики-текст]

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Рассматривается закрытый ареал, в котором обитают два вида — травоядные («жертвы») и хищники, предполагается, что животные не иммигрируют и не эмигрируют, и что еды для травоядных животных имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв (без учета хищников) принимает вид:

~\frac{dx}{dt}=\alpha x,

где \alpha — коэффициент рождаемости жертв, x — величина популяции жертв, ~\tfrac{dx}{dt} — скорость прироста популяции жертв.

Пока хищники не охотятся, они вымирают, следовательно, уравнение для численности хищников (без учёта жертв) принимает вид:

\frac{dy}{dt}=-\gamma y,

где \gamma — коэффициент убыли хищников, y — величина популяции хищников, \tfrac{dy}{dt} — скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине xy) происходит убийство жертв с коэффициентом \beta, сытые хищники способны к воспроизводству с коэффициентом \delta. С учётом этого, система уравнений модели такова:


\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=\alpha x-\beta xy=(\alpha-\beta y)x\\\dfrac{dy}{dt}=-\gamma y+\delta xy\end{cases}
.

Решение задачи[править | править вики-текст]

Нахождение стационарной позиции системы[править | править вики-текст]

Для стационарной позиции \bar{x}>0, \bar{y}>0 изменение популяции равно нулю. Следовательно:

\alpha \bar{x} -\beta \bar{x} \bar{y} = 0,
-\gamma \bar{y} +\delta \bar{x} \bar{y} = 0,

из чего следует, что стационарная точка системы вокруг которой происходят колебания, определяется следующим образом:

\bar{x}=\frac{\gamma}{\delta},
\bar{y}=\frac{\alpha}{\beta}.

Задание отклонения в системе[править | править вики-текст]

При внесении в систему колебаний \tilde{x} \ll \bar{x} и \tilde{y} \ll \bar{y}, из-за малой их величины их квадратами, кубами и последующими степенями ((\tilde{x})^n) можно пренебречь. Таким образом, популяция x и y с малыми отклонениями описывается следующими выражениями:

~x=\bar{x}+\tilde{x},
~y=\bar{y}+\tilde{y}.

Применяя их к уравнениям модели, следует:

\frac{d\tilde{x}}{dt}=-\frac{\beta\gamma}{\delta} \tilde{y}
\frac{d\tilde{y}}{dt}=\frac{\delta \alpha}{\beta} \tilde{x}

Дифференцирование одного из этих уравнений и подстановка в другое даёт следующий результат:

\frac{d^2\tilde{x}}{dt^2}=-\frac{\beta\gamma}{\delta}\frac{\delta\alpha}{\beta}\tilde{x}=-\alpha\gamma\tilde{x},
\frac{d^2\tilde{x}}{dt^2}+\alpha\gamma\tilde{x}=0.

Полученное выражение является уравнением гармонического осциллятора с периодом T=\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha\gamma}}.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]