Модель Лотки — Вольтерры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры (распространено неправильное название — модель Ло́тки — Вольтерра́[1]) — модель взаимодействия двух видов типа "хищник - жертва", названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.

Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник-жертва», «паразит-хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами (Одум, 1986).

В математической форме предложенная система имеет следующий вид:

\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=(\alpha -\beta y)x
\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=(-\gamma +\delta x) y,

где x — количество жертв, y— количество хищников, t — время, \alpha, \beta, \gamma, \delta — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами.

Решение системы уравнений[править | править вики-текст]

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Допустим, у нас есть закрытый ареал, существа которого не иммигрируют и не эмигрируют. Также допустим, что еды для травоядных животных у нас имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв примет вид:

~\frac{dx}{dt}=\alpha x,

где:

  • ~\alpha — это коэффициент рождаемости жертв
  • ~x — это величина популяции жертв
  • ~\frac{dx}{dt} — это скорость прироста популяции жертв.

Так как хищники стабильным питанием не обеспечены, то они вымирают. Следовательно, уравнение для хищников примет вид:

\frac{dy}{dt}=-\gamma y,

где

  • ~\gamma — это коэффициент убыли хищников;
  • ~y — это величина популяции хищников;
  • ~\frac{dy}{dt} — это скорость прироста популяции хищников.

При встречах хищников и жертв (частота которых прямо пропорциональна величине xy) происходит убийство жертв с коэффициентом ~\beta и рождение новых хищников с коэффициентом ~\delta. С учётом этого получаем систему уравнений:

\ \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}=\alpha x -\beta x y = (\alpha -\beta y)x

\ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=-\gamma y +\delta x y = (-\gamma +\delta x) y

Решение задачи[править | править вики-текст]

Нахождение стационарной позиции системы[править | править вики-текст]

Найдём стационарную точку \bar{x}>0, \bar{y}>0, вокруг которой происходят колебания. Для стационарной позиции изменение популяции равно нулю. Следовательно,

~\alpha \bar{x} -\beta \bar{x} \bar{y} = 0,

~-\gamma \bar{y} +\delta \bar{x} \bar{y} = 0,

из чего следует, что

\bar{x}=\frac{\gamma}{\delta},

\bar{y}=\frac{\alpha}{\beta}.

Задание отклонения в системе[править | править вики-текст]

Теперь нам надо ввести в нашу систему колебания ~\tilde{x} \ll \bar{x} и ~\tilde{y} \ll \bar{y}. Из-за малой величины колебаний их квадратами, кубами и т. д. ((\tilde{x})^n) можно пренебречь. Теперь популяция ~x и ~y будет описываться следующими выражениями:

~x=\bar{x}+\tilde{x};

~y=\bar{y}+\tilde{y}.

Далее расписываем предыдущее уравнение:

\frac{d\tilde{x}}{dt}=\alpha (\bar{x}+\tilde{x}) -\beta (\bar{x}+\tilde{x}) (\bar{y}+\tilde{y})=\frac{\alpha\gamma}{\delta}+\alpha\tilde{x}-\frac{\beta\gamma\alpha}{\delta\beta}-\frac{\beta\gamma}{\delta}\tilde{y}-\frac{\beta\alpha}{\beta}\tilde{x}-\beta\tilde{x} \tilde{y}=-\frac{\beta\gamma}{\delta} \tilde{y}

Похожий ответ получаем относительно хищников:

\frac{d\tilde{y}}{dt}=\frac{\delta \alpha}{\beta} \tilde{x}

После этого дифференцируем одно уравнение и подставляем в него другое:

\frac{d^2\tilde{x}}{dt^2}=-\frac{\beta\gamma}{\delta}\frac{\delta\alpha}{\beta}\tilde{x}=-\alpha\gamma\tilde{x}

\frac{d^2\tilde{x}}{dt^2}+\alpha\gamma\tilde{x}=0

— полученное выражение является уравнением гармонического осциллятора с периодом T=\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha\gamma}}.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]