Мультиномиальные (полиномиальные ) коэффициенты — коэффициенты в разложении
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}}
по мономам
x
1
k
1
x
2
k
2
…
x
m
k
m
{\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}}
:
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
x
1
k
1
x
2
k
2
…
x
m
k
m
.
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}.}
Значение мультиномиального коэффициента
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}}
определено для всех целых неотрицательных чисел n и
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
{\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}
таких, что
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
{\displaystyle k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}
:
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
…
k
m
!
.
{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.}
Биномиальный коэффициент
(
n
k
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}
для неотрицательных целых чисел n , k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно
(
n
k
)
=
(
n
k
,
n
−
k
)
.
{\displaystyle {n \choose k}={n \choose k,\ n-k}.}
В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
{\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}}
равен числу упорядоченных разбиений n -элементного множества на m подмножеств мощностей
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
{\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}
.
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
m
n
.
{\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}=m^{n}.}
из формулы Стирлинга при фиксированных
(
α
i
)
i
=
1
n
∈
(
0
;
1
)
n
,
α
1
+
⋯
+
α
k
=
1
{\displaystyle (\alpha _{i})_{i=1}^{n}\in (0;1)^{n},\ \alpha _{1}+\dots +\alpha _{k}=1}
следует асимптотическая формула
(
n
α
1
n
,
…
,
α
k
n
)
∼
(
1
α
1
α
1
…
α
k
α
k
+
o
(
1
)
)
n
{\displaystyle {\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}}