Формула Стирлинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n.

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы.[1]

Наиболее используемый вариант формулы:

\ln \Gamma(n+1) = \ln n! = n\ln n - n +O(\ln(n))\

Следующий член в O(log(n)) — это 12ln(2πn); таким образом более точная аппроксимация:

\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}}} = 1,

что эквивалентно

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.

Формула Стирлинга является первым приближением при разложении факториала в ряд Стирлинга:

n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Pearson, Karl, "«Historical note on the origin of the normal curve of errors»", Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403] : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна \sqrt{2\pi}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы».