Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении
по мономам
:
![{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3cf8b8691a0d36716d7553ec6a07be490796b78)
Значение мультиномиального коэффициента
определено для всех целых неотрицательных чисел n и
таких, что
:
![{\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8378af4829fbf9f01a657cff678cf5198191b72c)
Биномиальный коэффициент
для неотрицательных целых чисел n, k является частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно
![{\displaystyle {n \choose k}={n \choose k,\ n-k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68705f8c28b675ae9aed620308dce86f9e076d)
- В комбинаторном смысле мультиномиальный коэффициент
равен числу упорядоченных разбиений n-элементного множества на m подмножеств мощностей
.
![{\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}=m^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febe0e3df30d0b0cb0d4145ecc895ade48a577e9)
- из формулы Стирлинга при фиксированных
следует асимптотическая формула ![{\displaystyle {\binom {n}{\alpha _{1}n,\ \dots ,\ \alpha _{k}n}}\sim \left({{\frac {1}{{\alpha _{1}}^{\alpha _{1}}\dots {\alpha _{k}}^{\alpha _{k}}}}+o(1)}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c1b01f20f76b7e32cc50af4ca60b0ea024ebd2)