Неравенство Джексона — Стечкина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Джексона — Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким-либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример:

E_n(f)_{L^2}<K\omega_f(\delta).

В примере величина наилучшего приближения функции f полиномами степени n в пространстве L^2 оценивается сверху через значение модуля непрерывности функции f в точке \delta. Величина K называется константой Джексона. Вопрос о наименьшем значении этой величины (о «точной константе Джексона»), как правило, очень труден. В тех случаях, когда он разрешим, минимальная константа \delta, при которой неравенство остается справедливым, называется точкой Черных, нахождение которой также является нетривиальным.

История[править | править вики-текст]

Впервые неравенство такого типа было получено Д. Джексоном (англ. Dunham Jackson) в 1911 году для случая приближения периодических функций тригонометрическими полиномами. Он показал, что

E_n(f)\leqslant c\omega\left(f,\;\frac{1}{n}\right)

и

E_n(f)\leqslant \frac{c_r}{n^r}\omega\left(f^{(r)},\;\frac{1}{n}\right).

Здесь E_n(f) есть величина наилучшего приближения функции f в равномерной метрике тригонометрическими полиномами степени n-1. В первом неравенстве функция f предполагается непрерывной, а во втором — r-раз дифференцируемой.

В 1945 году Зигмунд получил подобные неравенства с использованием модуля непрерывности второго порядка, в 1947 году академик С. Н. Бернштейн смог использовать модуль непрерывности порядка k. В 1949 году С. Б. Стечкин обобщил все предыдущие результаты и установил (отличным от Джексона методом), что

E_n(f)\leqslant c_k\omega_k\left(f,\;\frac{1}{n}\right)

и

E_n(f)\leqslant\frac{c_{k+r}}{n^r}\omega_k\left(f^{(r)},\;\frac{1}{n}\right).

Здесь константы c_k не зависят от f, n или r. В результате в отечественной литературе неравенство стало называться неравенством Джексона — Стечкина, а похожие неравенства стали называться неравенствами типа Джексона — Стечкина.

В 1961 году Н. П. Корнейчук указал точную константу Джексона в первом неравенстве:

E_n(f)<1\cdot\omega\left(f,\;\frac{\pi}{n}\right).

В 1967 году Стечкин получил неравенство Джексона в пространствах L_p для всех p\in[1,\;\infty):

E_n(f)_p<\frac{3}{2}\cdot\omega\left(f,\;\frac{\pi}{n}\right)_p.

Позднее этой тематикой занималось (и до сих пор занимаются) большое число математиков в разных странах, были получены аналогичные неравенства для разнообразных пространств, приближающих классов и модулей непрерывности.