Непрерывная функция

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции можно начертить «не отрывая карандаш от бумаги».

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Определения

ε-δ определение

Пусть $D\subset\R$ и $f: D\to\R$.

Функция $f$ непрерывна в точке $x_0\in D$, если для любого $\epsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что для любого

$x\in D,\ |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$

Функция $f$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция $f$ класса $C^0$ и пишут: $f\in C^0(E)$ или, подробнее, $f\in C^0(E, \mathbb{R})$.

Комментарии

• Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.
• Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция $f$ непрерывна в точке $x_0$, предельной для множества $E$, если $f$ имеет предел в точке $x_0$, и этот предел совпадает со значением функции $f(x_0)$.
• Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Точки разрыва

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если $A$ — значение функции $f$ в точке $a$, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с $A$. На языке окрестностей условие разрывности функции $f$ в точке $a$ получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки $A$ области значений функции $f$, что как бы мы близко не подходили к точке $a$ области определения функции $f$, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки $A$.

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке:

$\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a).$

тогда точка $a$ называется точкой устранимого разрыва функции $f$ (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию $f$ в точке устранимого разрыва и положить $f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x),$, то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением фукции до непрерывной, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода

Если предел функции в данной точке отсутствует (и функцию нельзя доопределить до непрерывной), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

• если оба односторонних предела существуют и конечны, но хотя бы один из них отличен от значения функции в данной точке, то такую точку называют точкой разрыва первого рода;
• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Свойства

Локальные

• Функция, непрерывная в точке $a\,$, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
• Если функция $f\,$ непрерывна в точке $a\,$ и $f(a)>0\,$ (или $\,f(a)<0$), то $f(x)>0\,$ (или $\,f(x)<0$) для всех $\,x$, достаточно близких к $\,a$.
• Если функции $f\,$ и $g\,$ непрерывны в точке $\,a$, то функции $f+g\,$ и $f \cdot g\,$ тоже непрерывны в точке $\,a$.
• Если функции $f\,$ и $g\,$ непрерывны в точке $a\,$ и при этом $\,g(a)\neq 0$, то функция $f/g\,$ тоже непрерывна в точке $\,a$.
• Если функция $f\,$ непрерывна в точке $a\,$ и функция $g\,$ непрерывна в точке $\,b=f(a)$, то их композиция $\,h=g\circ f$ непрерывна в точке $\,a$.

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
• Областью значений функции $f\,$, непрерывной на отрезке $\,[a,b]$, является отрезок $\,[\min f, \ \max f],$ где минимум и максимум берутся по отрезку $\,[a,b]$.
• Если функция $f\,$ непрерывна на отрезке $\,[a,b]$ и $\,f(a)\cdot f(b)<0,$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $\,f(\xi)=0$.
• Если функция $f\,$ непрерывна на отрезке $\,[a,b]$ и число $\varphi\,$ удовлетворяет неравенству $\,f(a)< \varphi < f(b)$ или неравенству $\,f(a)> \varphi > f(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $\,f(\xi)=\varphi$.
• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
• Монотонная функция на отрезке $\,[a,b]$ непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами $f(a)\,$ и $\,f(b)$.
• Если функции $f\,$ и $g\,$ непрерывны на отрезке $\,[a,b]$, причем $\,f(a)< g(a)$ и $\,f(b) > g(b),$ то существует точка $\xi \in (a,b),$ в которой $\,f(\xi)=g(\xi).$ Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры

Элементарные функции

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом

Функция $f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R},$ задаваемая формулой

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

непрерывна в любой точке $x \neq 0.$ Точка $x=0$ является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0 = f(0).$

Функция знака

Функция

$f(x) = \sgn x = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases},\quad x\in \R$

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке $x \neq 0$.

Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода, причём

$\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x)$,

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция

Ступенчатая функция, определяемая как

$f(x) = \begin{cases} 1,& x \geqslant 0\\ 0, & x < 0 \end{cases},\quad x\in \mathbb{R}$

является всюду непрерывной, кроме точки $x=0$, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке $x=0$ существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, ступенчатая функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

$f(x) = \begin{cases} 1,& x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases},\quad x\in \mathbb{R}$

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле

Функция

$f(x) = \begin{cases} 1,& x \in \mathbb{Q}\\ 0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}$

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана

Функция

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},\ (m,n)=1\\ 0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases}$

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел ($\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и обобщения

Равномерная непрерывность

Функция $f$ называется равномерно непрерывной на $E$, если для любого $\epsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$ для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ таких, что $|x_1-x_2|<\delta$.

Каждая равномерно непрерывная на множестве $E$ функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция $f$ называется полунепрерывной снизу в точке $a$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такая окрестность $U_E(a)$, что $f(x)>f(a)-\varepsilon$ для всякого $x\in U_E(a)$;
• функция $f$ называется полунепрерывной сверху в точке $a$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такая окрестность $U_E(a)$, что $f(x)<f(a)+\varepsilon$ для всякого $x\in U_E(a)$.

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и уменьшить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке $a$;
• если взять функцию $f$, непрерывную в точке $a$, и увеличить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке $a$.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если $f(a)=-\infty$, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке $a$;
• если $f(a)=+\infty$, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке $a$.

Односторонняя непрерывность

Функция $f$ называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке $x_0$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство :$f(x_0)=\lim_{x\to x_0-} f(x)$ ($f(x_0)=\lim_{x\to x_0+} f(x)$)

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция $f$ такова, что она непрерывна всюду на $E$, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.