Непрерывная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой. Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.

Определения[править | править вики-текст]

ε-δ определение[править | править вики-текст]

Continuidad de funciones 04.svg

Пусть D\subset\R и f: D\to\R.

Функция f непрерывна в точке x_0\in D, если для любого \varepsilon>0 существует \delta>0 такое, что для любого

x\in D,\ |x-x_0|<\delta  \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f класса C^0 и пишут: f\in C^0(E) или, подробнее, f\in C^0(E, \mathbb{R}).

Комментарии[править | править вики-текст]

  • Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x_0, предельной для множества D, если f имеет предел в точке x_0, и этот предел совпадает со значением функции f(x_0).
  • Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Точки разрыва[править | править вики-текст]

Устранимый разрыв

Если условие, входящее в определение непрерывности функции в некоторой точке, нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если A — значение функции f в точке a, то предел такой функции (если он существует) не совпадает с A. На языке окрестностей условие разрывности функции f в точке a получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки A области значений функции f, что как бы мы близко не подходили к точке a области определения функции f, всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки A.

Устранимые точки разрыва[править | править вики-текст]

Разрыв типа «скачок»

Если предел функции существует, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

\lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a),

то точка a называется точкой устранимого разрыва функции fкомплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию f в точке устранимого разрыва и положить f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x), то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точки разрыва первого и второго рода[править | править вики-текст]

Точка разрыва функции второго рода

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

  • если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
  • если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.

Свойства[править | править вики-текст]

Локальные[править | править вики-текст]

  • Функция, непрерывная в точке a\,, является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.
  • Если функция f\, непрерывна в точке a\, и f(a)>0\, (или \,f(a)<0), то f(x)>0\, (или \,f(x)<0) для всех \,x, достаточно близких к \,a.
  • Если функции f\, и g\, непрерывны в точке \,a, то функции f+g\, и f \cdot g\, тоже непрерывны в точке \,a.
  • Если функции f\, и g\, непрерывны в точке a\, и при этом \,g(a)\neq 0, то функция f/g\, тоже непрерывна в точке \,a.
  • Если функция f\, непрерывна в точке a\, и функция g\, непрерывна в точке \,b=f(a), то их композиция \,h=g\circ f непрерывна в точке \,a.

Глобальные[править | править вики-текст]

  • Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
  • Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
  • Областью значений функции f\,, непрерывной на отрезке \,[a,b], является отрезок \,[\min f, \ \max f], где минимум и максимум берутся по отрезку \,[a,b].
  • Если функция f\, непрерывна на отрезке \,[a,b] и \,f(a)\cdot f(b)<0, то существует точка \xi \in (a,b), в которой \,f(\xi)=0.
  • Если функция f\, непрерывна на отрезке \,[a,b] и число \varphi\, удовлетворяет неравенству \,f(a)< \varphi < f(b) или неравенству \,f(a)> \varphi > f(b), то существует точка \xi \in (a,b), в которой \,f(\xi)=\varphi.
  • Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
  • Монотонная функция на отрезке \,[a,b] непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами \,f(a) и \,f(b).
  • Если функции f\, и g\, непрерывны на отрезке \,[a,b], причем \,f(a)< g(a) и \,f(b) > g(b), то существует точка \xi \in (a,b), в которой \,f(\xi)=g(\xi). Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры[править | править вики-текст]

Элементарные функции[править | править вики-текст]

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом[править | править вики-текст]

Функция f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}, задаваемая формулой

f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\
0, & x = 0
\end{cases}

непрерывна в любой точке x \neq 0. Точка x=0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

\lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0 = f(0).

Функция знака[править | править вики-текст]

Функция

f(x) = \sgn x = \begin{cases}
-1, & x < 0 \\
0, & x = 0 \\
1, & x > 0
\end{cases},\quad x\in \R

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке x \neq 0.

Точка x=0 является точкой разрыва первого рода, причём

\lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x),

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Ступенчатая функция[править | править вики-текст]

Ступенчатая функция, определяемая как

f(x) = \begin{cases}
1,& x \geqslant 0\\
0, & x < 0
\end{cases},\quad x\in \mathbb{R}

является всюду непрерывной, кроме точки x=0, где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x=0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

f(x) = \begin{cases}
1,& x > 0\\
0, & x \leqslant 0
\end{cases},\quad x\in \mathbb{R}

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле[править | править вики-текст]

Функция

f(x) = \begin{cases}
1,& x \in \mathbb{Q}\\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана[править | править вики-текст]

Функция

f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},\ (m,n)=1\\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Равномерная непрерывность[править | править вики-текст]

Функция f называется равномерно непрерывной на E, если для любого \varepsilon>0 существует \delta>0 такое, что для любых двух точек x_1 и x_2 таких, что |x_1-x_2|<\delta, выполняется |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.

Каждая равномерно непрерывная на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность[править | править вики-текст]

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

  • функция f называется полунепрерывной снизу в точке a, если для любого \varepsilon>0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x)>f(a)-\varepsilon для всякого x\in U_E(a);
  • функция f называется полунепрерывной сверху в точке a, если для любого \varepsilon>0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x)<f(a)+\varepsilon для всякого x\in U_E(a).

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

  • если взять функцию f, непрерывную в точке a, и уменьшить значение f(a) (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a;
  • если взять функцию f, непрерывную в точке a, и увеличить значение f(a) (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

  • если f(a)=-\infty, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;
  • если f(a)=+\infty, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

Односторонняя непрерывность[править | править вики-текст]

Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x_0 её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-} f(x) (f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0+} f(x))

Непрерывность почти всюду[править | править вики-текст]

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Литература[править | править вики-текст]

  • Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.