Нумерация Гёделя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нумерация Гёделя — это функция g, сопоставляющая каждому объекту некоторого формального языка её номер. С её помощью можно явно пронумеровать следующие объекты языка: переменные, предметные константы, функциональные символы, предикатные символы и формулы, построенные из них. Построение нумерации Гёделя для объектов теории называется арифметизацией теории — оно позволяет переводить высказывания, аксиомы, теоремы, теории в объекты арифметики. При этом требуется, чтобы нумерация g была эффективно вычислимой и для любого натурального числа можно было определить, является ли оно номером или нет, и если является, то построить соответствующий ему объект языка. Нумерация Гёделя очень похожа на посимвольное кодирование строк числами, но с той разницей, что для кодирования последовательностей номеров букв используется не конкатенация номеров одинаковой длины, а основная теорема арифметики.

Нумерация Гёделя была применена Гёделем в качестве инструмента для доказательства неполноты формальной арифметики.

Вариант нумерации Гёделя формальной теории первого порядка[править | править вики-текст]

Пусть \mathrm{K} - теория первого порядка, содержащая переменные x_1,x_2,..., предметные константы a_1, a_2, ... , функциональные символы f_k^n и предикатные символы A_k^n, где k - номер, а n - арность функционального или предикатного символа.

Каждому символу u произвольной теории первого порядка \mathrm{K} поставим в соответствие его гёделев номер g(u) следующим образом:

g(()=3; \ g())=3; \ g(,)=3; \ g(\neg )=3; \ g(\to )=3;

g(x_k)=5+8k, \ k=1,2,...;

g(a_k)=7+8k, \ k=1,2,...;

g(f_k^n)=9+8\cdot 2^n3^k, \ k,n\geqslant 1;

g(A_k^n)=11+8\cdot 2^n3^k, \ k,n\geqslant 1.

Гёделев номер произвольной последовательности e_0,...,e_r выражений определим следующим образом: g(e_0,...,e_r) =2^{g(e_0)}\cdot 3^{g(e_1)}\cdot...\cdot p_r^{g(e_r)}.

Существуют также другие нумерации Гёделя формальной арифметики.

Пример[править | править вики-текст]

g(A_1^2(x_1, x_2))=2^{g(A_1^2)}\cdot 3^{g(()}\cdot 5^{g(x_1)}\cdot 7^{g(,)}\cdot 11^{g(x_2)}\cdot 13^{g())}=2^{107}\cdot 3^{3}\cdot 5^{13}\cdot 7^{7}\cdot 11^{21}\cdot 13^{5}

Обобщения[править | править вики-текст]

Вообще, нумерацией множества F называют всюду определенное сюрьективное отображение \nu: \mathbb{N}\to F. Если \nu(n)=f, то n называют номером объекта f. Частные случаи F - языки и теории.

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]