Обнаружение сигнала

Обнаружение сигнала — статистический выбор между двумя гипотезами: наличие или отсутствие сигнала в шуме. Задача оптимального приёма сигналов.

Математическая модель

Допустим, что в принятом сигнале $r(t)$ может присутствовать или отсутствовать сигнал $s(t,\lambda )$, то есть принимаемый сигнал $r(t)$ равен $r(t)=\alpha s(t,\lambda )+n(t)$, где случайная величина $\alpha$ может принимать значения 0 (сигнал отсутствует) или 1 (сигнал присутствует); $s(t,\lambda )$ — наблюдаемый на интервале наблюдения [$0,T$] детерминированный сигнал. При решении задачи обнаружении сигнала необходимо определить наличие сигнала $s(t,\lambda )$ в $r(t)$, то есть оценить значение параметра $\alpha$. При этом возможны два варианта. Априорные данные — вероятности $p_{p}$$_{r}(t,\alpha =0)$ и $p_{p}$$_{r}(t,\alpha =1)$ — могут быть известны или нет.

Сформулированная задача обнаружения сигнала является частным случаем общей задачи статистической проверки гипотез . Гипотезу об отсутствии сигнала будем обозначать $H_{0}$, а гипотезу о наличии сигнала — $H_{1}$.

Если априорные вероятности $P_{pr}(H_{0})$ и $P_{pr}(H_{1})$ известны, то можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский критерий) $R$:

$R=\sum _{i,k=0}^{1}P_{pr}(H_{i})Q_{ik}\int \limits _{X_{k}}W(x|H_{i})dx$,

где {$Q_{ik}$} — матрица потерь, а $W(x|H_{i})$ — функция правдоподобия выборки наблюдаемых данных, если предполагается истинность гипотезы $H_{i}$.

В этом случае, если априорные вероятности $P_{pr}(H_{0})$ и $P_{pr}(H_{1})$ неизвестны, то с пороговым значением $h_{0}$ сравнивается отношение правдоподобия $l_{0}$:

$l_{0}={\frac {F(r|H_{1})}{F(r|H_{0})}}=exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)$,

где E — энергия сигнала, а N — односторонняя спектральная плотность гауссовского аддитивного белого шума. Если $l_{0}>h_{0}$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$].

Если априорные вероятности $P(H_{0})$ и $P(H_{1})$ известны, то решение о наличии сигнала принимается на основе сравнения отношения апостериорных вероятностей $l_{1}$ с некоторым пороговым значением $h_{1}$  :

$l_{1}={\frac {P_{ps}(H_{1})}{P_{ps}(H_{0})}}={\frac {P_{pr}(H_{1})}{P_{pr}(H_{0})}}exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)$

Если $l_{1}>h_{1}$, то принимается гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$].

Технические средства обнаружения

Задача обнаружения часто встречается в радиолокации, гидролокации и других областях техники.

См. также

• Теория обнаружения сигнала