Обсуждение:Квантор всеобщности

80.90.116.9 17:11, 7 ноября 2009 (UTC)Хорошо бы был переход на всеобщность(определение),а там и на существование...

Примеры употребления квантора всеобщности

Существуют равносильные предложения. Например, русское предложение "Он любит её." и английское предложение "He loves her." - равносильны. Если предложения A и B равносильны, тогда этот факт записывают в виде: $A\Leftrightarrow B$

Примеры равносильных предложений.

Он любит её. $\Leftrightarrow$ He loves her.

He loves her. $\Leftrightarrow$ She is loved by him.

Примеры употребления квантора всеобщности.

1.1 Каждая девушка любит комплименты. $\Leftrightarrow \forall x(x\in$ {Девушки} $\leftrightarrow x\in$ {Девушки} $\land \ x$ любит комплименты.)

Каждая девушка любит комплименты. $\Leftrightarrow \{$Девушки$\}=\{x|x\in \{$Девушки$\}\land x$ любит комплименты.$\}$

Каждая девушка любит комплименты. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \{$Девушки$\}\rightarrow x$ любит комплименты.$)$

Каждая девушка любит комплименты. $\Leftrightarrow \{$Девушки$\}\subseteq \{x|x\in \{$Девушки$\}\land x$ любит комплименты.$\}$

1.2 Каждое целое число является корнем уравнения $0\cdot x=0.\Leftrightarrow \forall x(x\in {\mathbb {Z} }\leftrightarrow x\in {\mathbb {Z} }\land \ 0\cdot x=0)$

Каждое целое число является корнем уравнения $0\cdot x=0.\Leftrightarrow {\mathbb {Z} }=\{x|x\in {\mathbb {Z} }\land \ 0\cdot x=0\}$

Каждое целое число является корнем уравнения $0\cdot x=0.\Leftrightarrow \forall x(x\in {\mathbb {Z} }\rightarrow 0\cdot x=0)$

Каждое целое число является корнем уравнения $0\cdot x=0.\Leftrightarrow {\mathbb {Z} }\subseteq \{x|x\in {\mathbb {Z} }\land \ 0\cdot x=0\}$

2.1 Ни одна девушка не любит комплименты. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \varnothing \leftrightarrow x\in$ {Девушки} $\land \ x$ любит комплименты.)

Каждая девушка не любит комплименты. $\Leftrightarrow \{\}=\varnothing =\{x|x\in \{$Девушки$\}\land x$ любит комплименты.$\}$

Каждая девушка не любит комплименты. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \{$Девушки$\}\rightarrow x$ не любит комплименты.$)$

Каждая девушка не любит комплименты. $\Leftrightarrow \{$Девушки$\}\subseteq \{x|x\in \{$Девушки$\}\land x$ не любит комплименты.$\}$

2.2 Уравнение $x^{2}=-1$ не имеет ни одного вещественного корня. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \varnothing \leftrightarrow x\in {\mathbb {R} }\land \ x^{2}=-1)$

Уравнение $x^{2}=-1$ не имеет ни одного вещественного корня. $\Leftrightarrow \{\}=\varnothing =\{x|x\in {\mathbb {R} }\land \ x^{2}=-1\}$

Уравнение $x^{2}=-1$ не имеет ни одного вещественного корня. $\Leftrightarrow \forall x(x\in {\mathbb {R} }\rightarrow \ x^{2}\neq -1)$

Уравнение $x^{2}=-1$ не имеет ни одного вещественного корня. $\Leftrightarrow {\mathbb {R} }\subseteq \{x|x\in {\mathbb {R} }\land \ x^{2}\neq -1\}$

3.1 Только девушка Саша любит комплименты. $\Leftrightarrow \forall x(x\in$ {Саша} $\leftrightarrow x\in$ {Девушки} $\land \ x$ любит комплименты.)

Только девушка Саша любит комплименты. $\Leftrightarrow$ {Саша} $=\{x|x\in$ {Девушки} $\land \ x$ любит комплименты.$\}$

3.2 Только натуральное число 1 является корнем уравнения $x^{2}=1.\Leftrightarrow \forall x(x\in \{1\}\leftrightarrow x\in {\mathbb {N} }\land \ x^{2}=1)$

Только натуральное число 1 является корнем уравнения $x^{2}=1.\Leftrightarrow \{1\}=\{x|x\in {\mathbb {N} }\land \ x^{2}=1\}$

4.1 Все девушки кроме Саши любят комплименты. $\Leftrightarrow |\{$Девушки$\}|\geqslant 2\land \forall x(x\in \{$Девушки$\}\setminus \{$Саша$\}\rightarrow x$ любит комплименты.$)$

4.2 Пять делится на любое вещественное число кроме ноля. $\Leftrightarrow \forall x(x\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}\rightarrow {5 \over x}\in {\mathbb {R} })$

5.1 Все девушки включая Сашу любят комплименты. $\Leftrightarrow |\{$Девушки$\}|\geqslant 2\land \forall x(x\in \{$Девушки$\}\cup \{$Саша$\}\rightarrow x$ любит комплименты.$)$

6.1 Разве что девушка Саша любит комплименты. $\Leftrightarrow \$Саша$\ \in \${Девушки}$\ \land \ \forall x(x\in \${Девушки}$\setminus${Саша} $\rightarrow x$ не любит комплименты.)

6.2 Разве что натуральное число 1 является корнем уравнения $x^{2}=1.\Leftrightarrow 1\in {\mathbb {N} }\land \forall x(x\in {\mathbb {N} }\setminus \{1\}\rightarrow \ x^{2}\neq 1)$

7.1 Возможно, девушка Саша любит комплименты. $\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \forall x(x\in$ {Саша} $\rightarrow x\in$ {Девушки} $\land \ (x$ любит комплименты $\lor \ x$ не любит комплименты.))

7.2 Возможно, натуральное число 1 является корнем уравнения $x^{2}=1.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \forall x(x\in \{1\}\rightarrow x\in {\mathbb {N} }\land (x^{2}=1\lor x^{2}\neq 1))$

Примеры аксиом и теорем, в которых употребляется квантор всеобщности.

$\forall x(x=x)$

$\forall x(x\in \{x\})$

$\forall x(x\subseteq x)$

$\forall x(\varnothing \subseteq x)$

$\forall x(x\notin x)$

$\forall x(x\notin \varnothing )$

$\forall x(x\in x\cup \{x\})$

$\forall x(x\notin x\cap \{x\})$

$\forall x\forall y(x=y\rightarrow (P[x]\leftrightarrow P[y])\land f(x)=f(y))$

$\forall x(x\in {\mathbb {R} }\rightarrow x+0=x\land x\cdot 1=x\land x+-x=0)$

$\forall x(x\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}\rightarrow x\cdot x^{-1}=1)$

Примеры бытовых предложений с квантором всеобщности.

Здесь ничего нет. $\Leftrightarrow$ There is nothing here. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \{$Things$\}\rightarrow x$ is not here.)

Меня никто не любит. $\Leftrightarrow$ Nobody loves me. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \{$Human beings$\}\rightarrow x$ does not love me.)

Только ты меня не любишь. $\Leftrightarrow$ Only you don't love me. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \{$you$\}\leftrightarrow x\in \{$Beings$\}\land x$ does not love me.) $\land \ |\{$you$\}|=1$

Взаимосвязь предложения "Все девушки..." и предложения "Некоторые девушки..."

Все девушки любят комплименты. $\Leftrightarrow \forall x(x\in \{$Девушки$\}\rightarrow x$ любит комплименты.$)\ \land \ \exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land \{x_{1},x_{2}\}\subseteq \{$Девушки$\})$

Некоторые девушки любят комплименты. $\Leftrightarrow \exists x_{1}\exists x_{2}(x_{1}\neq x_{2}\land \{x_{1},x_{2}\}\subseteq \{$Девушки$\}\ \land \ \forall x(x\in \{x_{1},x_{2}\}\rightarrow x$ любит комплименты.)$)$

Все девушки любят комплименты. $\Rightarrow$ Некоторые девушки любят комплименты.

94.26.145.33 07:26, 22 февраля 2023 (UTC)