Обсуждение:Ковариантный вектор

Стиль

«Хотелось бы понять немного конкретнее, что имелось в виду поставившим это замечание. Может быть, всё уже в порядке?»

• В энциклопедической статье неуместны обороты «…являющемся, правда, для нее естественным», «Содержательно же векторы и 1-формы различают», «вот, например, простое формальное определение…», «представление, в каком мы видим объект». На мой взгляд, аккуратных определений в статье пока нет и Ландау – не лучший источник информации в данном случае. --Kotov 21:05, 27 января 2008 (UTC)

Вопрос!!!

Объясните четко в чем разница между понятиями - дифференциальная форма и ковариантный вектор? Gvozdet 08:24, 26 июня 2009 (UTC)

• 1-формы и ковектора — фактически одно и то же. Однако с ковекторами обычно обращаются как с общими тензорами (тензорное умножение, ковариантное дифференцирование…), в то время как для 1-форм существуют внешнее умножение, внешнее дифференцирование и т. п. --Мышонок 13:04, 26 июня 2009 (UTC)

Зачем убрали раздел введение?

Ув. Milenc, зачем вы убрали введение, более доступное, нежели этот зубодробительный стиль расслоенных пространств? --Melirius 22:01, 30 марта 2012 (UTC)

старая версия

Я понимаю что википедия пытается писать всё в энциклопидийном или как оно там стили, да мне побарабану! сюда люди приходят чтоб реально понять, а не просто посмотреть формальное определение.

Ковариа́нтным ве́ктором, или кове́ктором называется вектор пространства, сопряжённого к заданному векторному пространству. В случае, если в исходном пространстве выбран базис, ему соответствует двойственный базис сопряжённого пространства, и естественно задавать ковектор его координатами в разложении по этому базису. Ковектор является частным случаем тензора типа (1,0).

В дифференциальной геометрии (и в соответствующих разделах физики), ковектор — элемент кокасательного пространства к многообразию в какой-либо точке. Ковекторное поле, заданное в какой-либо области на многообразии, называется 1-формой (заданной в этой области).

Введение

Говоря проще, ковариантный вектор — это такой объект, который действует на обычный контравариантный вектор и в результате даёт число — скалярное произведение этих векторов с обычными свойствами линейности. Размерность ковекторов совпадает с размерностью их контравариантных аналогов.

Это определение согласовано с определением ковариантного тензора валентности 1 (см. Тензор), каковым и является ковариантный вектор (ковектор) в качестве частного случая тензора. Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта — 1-формы или обычного вектора, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

Ковариантные координаты любого объекта принято записывать с нижним индексом, а также — в матричных обозначениях — в виде вектора-строки (в отличие от записи с верхним индексом и вектора-столбца для контравариантных координат, естественных для представления контравариантного вектора).

Возможно, было бы лучше строго придерживаться различия в понимании терминов «ковектор» и «ковариантный вектор», понимая под первым объект (вектор ко-касательного пространства — 1-форму), а под вторым — представление с нижним индексом любого объекта, однако с одной стороны — изоморфизм между ко- и просто касательным пространствами в случае (псевдо-)римановых многообразий всё равно размывает формальную границу в этом самом распространённом случае, а с другой стороны — традиция применения термина к тензорам достаточно устойчива. Кроме того, подъём-опускание индекса возможны всё-таки не во всех случаях, а при этом свойства представления будут жёстко закреплены за самим объектом. Простое «традиционное» определение ковариантного вектора из учебника Ландау[1]:

«Ковариантным вектором назы­вается всякая совокупность [равного размерности пространства количества] величин, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра».

Под производными от скаляра имеются тут в виду производные от скалярной функции по (контравариантным) координатам:

а вектор, согласно «традиционному» подходу определяется как набор его координат, изменяющихся определенным образом при замене базиса (системы координат).

Как видим, формально это определение описывает ковариантное представление, но содержательно описывает в качестве образца ковариантного вектора ковектор — 1-форму — градиент скаляра — для которой (как и для остальных 1-форм) именно это представление естественно[2].

--Mrilluminates 09:30, 11 июня 2013 (UTC)