Обсуждение:Непрерывная дробь

Untitled

Просьба не удалять сождержание. Я буду его наполнять. --Maxal 07:17, 30 Сен 2004 (UTC)

Надо немного думать о читателях, посему, держи лучше план при себе (это не сложно). Tosha 07:28, 30 Сен 2004 (UTC)

Вообще-то я собираюсь сделать начальное заполнение в течение часа. Ничего страшного с читателями за это время не случится. А удалять чужой труд — дурной тон. --Maxal 07:30, 30 Сен 2004 (UTC)

Бедный Tosha :) Сначала я постирал его заготовки статей целиком, потом ему не дают стереть заготовки секций. Тем не менее он прав — для чего вставлять заголовки если под ними ничего нет? Вставлять нужно сразу с самой секцией, иначе в этом нет смысла. Кстати, зачем вы вдвоём вцепились в эту статью? Подождите часок хотя бы между вашими правками MaxiMaxiMax 08:08, 30 Сен 2004 (UTC)

Уже есть. :) А вставлять пустые заголовки нужно для того, чтобы изложение было в нужном логическом порядке. Кроме того, секции можно править отдельно, что позволяет избежать конфликтов при одновременном редактировании текста. И наконец, пустые секции — это приглашение к их заполнению. ;) Статья без пустых секций создает иллюзорное ощущение завершённости. Я взялся за правку, когда, как мне показалось, Tosha сказал всё, что хотел сказать по данной теме. Ну я и взялся за её расширение и углубление (раньше собирался сам написать такую статью, да начать всё руки не доходили). --Maxal 08:24, 30 Сен 2004 (UTC)

А я в свою очередь напоминаю всем о чудесном шаблоне {{processing}}, своевременное употребление которого позволит избежать разногласий. :) Dodonov 09:34, 30 Сен 2004 (UTC)

Поправил вид самой первой непрерывной дроби. Теперь она смотрится получше. Akater 10:45, 27 января 2007 (UTC)

Я тут немного переименовал статью. Это у буржуев она Kettenbruch, а в руССком языке она — непрерывная дробь. Книжка Хинчина как называется? Во-ооот. --Oal 18:15, 11 июня 2007 (UTC)

Ой, у Хинчина они таки цепные (я его в английском переводе читал, лол). Зато у Гантмахера — непрерывные. --Oal 18:19, 11 июня 2007 (UTC)

Товарищи, вроде цепными дробями называют дроби вида

$a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+{\frac {1}{a_{4}+...}}}}}}}}$

а непрерывными дробями - дроби вида

$a_{0}+{\frac {b_{1}}{a_{1}+{\frac {b_{2}}{a_{2}+{\frac {b_{3}}{a_{3}+{\frac {b_{4}}{a_{4}+...}}}}}}}}$

(а еще есть функциональные непрерывные дроби, где все $b_{j}=x$) Sonic86 18:57, 29 декабря 2012 (UTC)Sonic86

Для перевода

Немного фап транслейт-материала.

Historisches und Anwendungen

Zur Geschichte der Kettenbrüche

Die Theorie der Kettenbrüche entwickelte sich aus dem Bedürfnis heraus, Brüche oder schwer fassbare Zahlen zu approximieren. Beispielsweise berechnete Christiaan Huygens damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens musste für die Bewegung des Saturns das Verhältnis

${\frac {77\,708\,491}{2\,640\,858}}=[29;2,2,1,5,1,6,1,1,1,1,9,1,1,14,2,2]=29{,}425471\dots$

berechnen. Mit nur drei Kettengliedern beträgt der relative Fehler hierbei ungefähr 0,01 %:

$29+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{\displaystyle 2+{\frac {1}{1}}}}}}={\frac {206}{7}}=29{,}428571\dots$

Auch zur Festlegung von Schaltjahren kann man Kettenbruchnäherungen benutzen. Fast alle Kulturen nutzen sie zur Erstellung von Zeitrechnungstafeln und Kalendern. Und auch die wichtige Kreiszahl π wussten die Chinesen schon durch Brüche anzunähern. Natürlich ist im Zeitalter des Computers die näherungsweise Berechnung der Kreiszahl oder anderer irrationaler Zahlen problemlos machbar; eine extrem genaue Approximation ist jedoch selten sinnvoll.

Anwendungen

• Die Kettenbruchmethode, ein Faktorisierungsverfahren für ganze Zahlen $n$, die keine Quadratzahl sind, basiert auf der Kettenbruchzerlegung von ${\sqrt {n}}$.
• Kettenbrüche sind manchmal recht angenehm, um etwas zu zeigen, beispielsweise um algebraische Zahlen von transzendenten Zahlen zu unterscheiden. Am Wachstum der Folge a_n kann man ablesen, wie gut die Zahl α=[a₀;a₁, ...] durch rationale Zahlen approximierbar ist; falls die Folge a_n schnell genug wächst, ist α eine Liouvillesche Zahl und daher transzendent.
• Kettenbrüche werden benutzt um rationale Näherungen an eine vorgegebene reelle Zahl zu berechnen, d.h. die betreffende Zahl durch Brüche anzunähern, deren Zähler und Nenner für die erzielte Genauigkeit der Darstellung möglichst klein sind. Man kann zeigen, dass die teilweise Auswertung der Kettenbruchdarstellung einer reellen Zahl einen Bruch liefert, der in dem Sinne die genaueste mögliche rationale Annäherung an den Kettenbruch ist, als man die Annäherung nur genauer machen kann, wenn man den Nenner größer macht.

Beispiel: die oben angeführte Kettenbruchdarstellung für

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,\dots ]$

liefert nacheinander mit zunehmendem Nenner und zunehmender Genauigkeit für $\pi$ die Näherungswerte

$3$, ${\frac {22}{7}}\approx 3{,}143$, ${\frac {333}{106}}\approx 3{,}14151$, ${\frac {355}{113}}\approx 3{,}1415929$, ${\frac {103\,993}{33\,102}}\approx 3{,}1415926530$, usw.

Diese sind abwechselnd ein bisschen zu klein und ein bisschen zu groß, wobei der absolute Fehler immer kleiner wird.

• Kettenbrüche eignen sich aber kaum zur Berechnung, da keine schnellen Algorithmen zur Berechnung der Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Zahlen in Kettenbruchdarstellung bekannt sind, und es für die Berechnung transzendenter und algebraischer Zahlen effektivere und schneller konvergierende Verfahren gibt.
• 1834 gab Vincent eine Methode an, mittels Kettenbruchentwicklungen die reellen Nullstellen eines ganzzahligen quadratfreien Polynoms zu trennen, d.h. für jede Nullstelle ein Intervall mit rationalen Endpunkten zu finden, welches keine weitere Nullstelle enthält und auf welchem das Newton-Verfahren gegen diese Nullstelle konvergiert. Eine Variante dieses Verfahrens ist der Uspensky-Algorithmus, jedoch eine moderne Umsetzung erst das Verfahren nach Collins/Akritas.

--Oal 18:21, 11 июня 2007 (UTC)

Continued fractions and chaos

Continued fractions also play a role in the study of chaos, where they tie together the Farey fractions which are seen in the Mandelbrot set with Minkowski's question mark function and the modular group Gamma.

The backwards shift operator for continued fractions is the map $h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor ,$ called the Gauss map, which lops off digits of a continued fraction expansion: $h([0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ])=[0;a_{2},a_{3},\dots ]$. The transfer operator of this map is called the Gauss-Kuzmin-Wirsing operator. The distribution of the digits in continued fractions is given by the zero'th eigenvector of this operator, and is called the Gauss-Kuzmin distribution.

History of continued fractions

• 300 BC Euclid, Elements - Algorithm for greatest common divisor which generates a continued fraction as a by-product
• 1579 Rafael Bombelli, L'Algebra Opera - method for the extraction of square roots which is related to continued fractions
• 1613 Pietro Cataldi, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - first notation for continued fractions

Cataldi represented a continued fraction as $a_{0}.\,$ &$n_{1} \over d_{1}.$ &$n_{2} \over d_{2}.$ &${n_{3} \over d_{3}}$ with the dots indicating where the following fractions went.

• 1695 John Wallis, Opera Mathematica - introduction of the term "continued fraction"
• ca 1780 Joseph Louis Lagrange - provided the general solution to Pell's equation using continued fractions similar to Bombelli's
• 1748 Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum. Vol. I, Chapter 18 - proved the equivalence of a certain form of continued fraction and a generalized infinite series
• 1813 Karl Friedrich Gauss, Werke, Vol. 3, pp. 134-138 - derived a very general complex-valued continued fraction via a clever identity involving the hypergeometric series

--Oal 18:25, 11 июня 2007 (UTC)

Ветвящиеся цепные дроби

Лучше создавать отдельную статью или сделать раздел в этой?

Пока можно здесь. infovarius 19:45, 30 апреля 2009 (UTC)

Фареевы дроби

По возможности добавить информацию. Ходаков Павел Викторович 09:50, 18 мая 2015 (UTC)

Неоднозначность разложения

Colt browning, мне кажется, что в том виде как это определено в статье неоднозначности в разложении рациональных чисел нет — из фразы «оборвётся по достижению нулевого $x_{n}$» следует, что корректным является только представлением с $a_{n}=1$. adamant.pwn — contrib/talk 23:23, 17 апреля 2020 (UTC)

• А, да, спасибо. Только, наоборот, алгоритм из статьи даёт $a_{n}>1$; и оба варианта корректны. В общем, факт мне кажется достаточно значимым, так что я его не уберу, а переформулирую. — Браунинг (обс.) 08:28, 18 апреля 2020 (UTC)

Подходящие дроби

То, что подходящая дробь является несократимой, следует не из какого-то там алгоритма, а из ее определения. Вернее, должно следовать (потому что сейчас это не так). Я ведь могу воспользоваться алгоритмом Эйлера и получить дробь ${p_{n}}/{q_{n}}$. Затем ничто не мешает мне рассмотреть дробь $(k{p_{n}})/(k{q_{n}})$. И она тоже подойдет под данное в статье определение. Дробь $(k{p_{n}})/(k{q_{n}})$ - это ведь тоже "некоторое рациональное число", равное $[{a_{0}};{a_{1}},...,{a_{n}}]$.Clothclub (обс.) 06:14, 14 апреля 2024 (UTC)