Осциллятор Ван дер Поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Фазовый портрет осциллятора. Виден предельный цикл.
Изменение формы предельного цикла при изменении \mu

Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием, подчиняющийся уравнению

{d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x= 0, где
x — координата точки, зависящая от времени t;
\mu  — некий коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.

История[править | править исходный текст]

Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем (англ.)русск., во время его работы в компании Philips.[1] Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными,[2] известные как «предельные циклы» В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили,[3] что на определенных частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса.[4]

Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии. Так, например, в биологии создана модель Фитц Хью-Нагумо (англ.)русск. Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов.[5]

Двухмерный случай[править | править исходный текст]

С помощью теоремы Линарда можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что y = x - \frac {x^3} {3} - \frac {1} {\mu} \frac {dx} {dt}. Отсюда можно вывести[6] уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случая:

\left \{ \begin{align} \frac {dx} {dt} &= \mu \left(x-\frac{1}{3}x^3-y\right) \\ \frac {dy} {dt} &= \frac{1}{\mu} x \end{align} \right..

Можно совершить замену y = \frac {dx} {dt} и получить

\left \{ \begin{align} \frac {dx} {dt} &= y \\ \frac {dy} {dt} &= \mu(1-x^2) y-x\end{align} \right. .

Осциллятор со свободными колебаниями[править | править исходный текст]

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при \mu=0 и при \mu>0. Очевидно, что третьего режима — \mu<0 — не существует, так как трение в системе не может быть отрицательным.

1) Когда \mu=0, то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду
{d^2x \over dt^2}+x= 0.
Это уравнение гармонического осциллятора.
2) При \mu>0 система имеет некие предельные циклы. Чем дальше \mu от нуля, тем хаотичнее ведёт себя система.

Вынужденные колебания[править | править исходный текст]

Хаотичное поведение осциллятора при воздействии внешней гармонической вынуждающей силы. \mu=8,53; A=1,2; \omega=2,10

Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле

{d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt}+x=A \sin(\omega t), где
A — амплитуда внешнего гармонического сигнала,
\omega — его угловая частота.
Принципиальная схема на триоде.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Cartwright, M.L., «Balthazar van der Pol», J. London Math. Soc., 35, 367—376, (1960).
  2. Van der Pol, B., «On relaxation-oscillations», The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci., 2(7), 978—992 (1927).
  3. Van der Pol, B. and Van der Mark, J., «Frequency demultiplication», Nature, 120, 363—364, (1927).
  4. Kanamaru, T., «Van der Pol oscillator», Scholarpedia, 2(1), 2202, (2007).
  5. Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., «Dynamics of elastic excitable media», Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 9, 2197—2202, (1999).
  6. Kaplan, D. and Glass, L., Understanding Nonlinear Dynamics, Springer, 240—244, (1995)

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]