Парадокс спящей красавицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Парадокс спящей красавицы — парадокс теории вероятностей. Парадокс представляет собой вероятностную задачу, которая имеет несколько различных, по-своему правильных ответов, и демонстрирует, как можно манипулировать статистикой.

Автором парадокса считается Адам Элга[1]. В 1999 году задача вызвала флейм в Usenet[2].

Формулировка[править | править вики-текст]

Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла: её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки: её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.

Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?

Решение 1. 
У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки ½.
Решение 2. 
Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки 23.

Решение[править | править вики-текст]

½ — это вероятность решки при всей известной Красавице информации. Вероятностное пространство здесь таково: 1-й день, орёл — ½; 1-й день, решка — ¼; 2-й день, решка — ¼.

А 23 в таком случае — это действительная доля пробуждений с решкой с учётом того, что каждая решка даёт два пробуждения, а каждый орёл — одно.

Подобные взвешенные проценты часто встречаются и в жизни. Например: в странах СНГ более 40 % проездов в муниципальном транспорте совершается пенсионерами[3]. Действительно ли 40 % населения на пенсии? Конечно же, нет. Из-за бесплатного проезда, большого количества свободного времени и слабого здоровья пенсионеры — намного более активные пассажиры, чем все остальные. Количество пенсионеров среди пассажиров оценивается в 20 % или даже меньше[4].

Другими словами, если регистрировать каждый проезд, удаляя все предыдущие проезды пассажира, если таковые есть (как стирают память Спящей красавице), получается 20 % пенсионеров. Если ничего не удалять — 40 %. Какое из этих двух чисел правильное — зависит от приложения. Специалистам по рекламе нужно число 20 %: «какой процент из увидевших объявление — пенсионеры»[4]. Транспортникам важнее 40 % — «какой процент пассажиропотока ездит бесплатно».

Другие формы парадокса[править | править вики-текст]

Парадокс рассеянного водителя[править | править вики-текст]

Рассеянный профессор, засидевшись на кафедре до поздней ночи, садится в машину и возвращается домой. Правильный путь — свернуть направо на втором перекрёстке (штраф 0). Если он свернёт на первом перекрёстке, он попадёт в криминальный район — штраф 4. Если пропустит второй перекрёсток, через 20 километров будет мотель, в котором можно переночевать — штраф 3. Проблема в том, что из-за рассеянности и усталости профессор не помнит, проехал он первый перекрёсток или нет, а в свете фар перекрёстки неразличимы[2].

Стратегия «как только увидишь перекрёсток, поворачивать направо», конечно же, была отброшена — получается штраф 4. Куда полезнее стратегия «пропустить оба перекрёстка», со штрафом 3.

Итак, профессор решил воспользоваться второй стратегией. Подъезжает к перекрёстку, и у него возникает мысль: «Вероятность ½, что я на первом перекрёстке, и ½ — что на втором. Тогда средний штраф первой стратегии ½·4 + ½·0 = 2 — лучше, чем ехать в мотель». Парадокс?

Парадокс в том, что первая и третья стратегии — разные. Третья — «в 50 % случаев пропустить первый перекрёсток и свернуть на втором, в 50 % — свернуть на первом».

Спящая красавица 2[править | править вики-текст]

Спящая красавица уже много месяцев живёт в лаборатории (память ей не стирают). Рядом с её кроватью стоит прозрачный ящик, в котором она видит монету, но не может трогать. Через некоторое время она замечает, что решка всегда следует парами: если сегодня выпала решка, то завтра будет решка, а послезавтра — орёл или решка с вероятностью ½.

Однажды экспериментатор приходит со стирающим кратковременную память уколом (долговременные наблюдения остались). Считаем, что день выбирается наугад независимо от результатов выпадения монеты. Красавица просыпается — какова вероятность решки?[2]

Ответ 1: 58. Вероятностное пространство таково:

  • орёл — решка — ¼
  • орёл — орёл — ¼
  • решка — память стёрта в первый день — ¼
  • решка — память стёрта во второй день — орёл — 18
  • решка — память стёрта во второй день — решка — 18

Ответ 2: 23 (так как 23 дней Красавица просыпалась с решкой, и  — с орлом).

Здесь нет никакой неоднозначности, правильный ответ 2. В ответе 1 неявно подразумевалось, что вероятности стирания памяти с орлом и с решкой одинаковы, что неверно.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]