Правило 72

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Правило семидесяти (правило 70)[1][2], правило 72[3][4], правило 69[5] — простой способ (приближённой) оценки срока, в течение которого величина вырастет вдвое при постоянном росте на некоторый процент.

Согласно «правилу семидесяти»,

T \approx \frac{70}{r},

где r — годовой процент роста, T — срок (в годах) удвоения суммы. Например, если на счёт в банке кладётся некоторая сумма денег (например, 1000 рублей) под r = 5 процентов годовых, то находящаяся на счету сумма удваивается (до 2000 рублей) за срок примерно T ≈ 70/5 = 14 лет.

Множитель 72 имеет большое количество делителей, соответствующих малым процентам (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) и потому более удобен для использования в качестве делимого по сравнению с более точным значением 69 и более лёгким для запоминания значением 70. По этой причине правило используется как в виде «Правило 70», так и «Правило 72» (но и также «Правило 69»).

История[править | править исходный текст]

Первое упоминание о правиле содержится у Луки Пачоли в его математическом труде "Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности", вышедшей в свет в 1494 году. Между тем Пачоли не приводит расчёт и не объясняет данное правило, что позволяет сделать вывод о том, что оно было известно и ранее.

Правило семидесяти как аппроксимация[править | править исходный текст]

Сравнение точной кривой и её аппроксимации

«Правило семидесяти» является аппроксимацией посредством гиперболы точной формулы

~T = \log_{1+R}2

Разлагая в ряд это выражение при малых R, получим T\approx \frac{\ln 2}{R}. Переходя от R частей целого к процентам (r = R*100), получим T\approx \frac{100\ln 2}{r}. Так как ln 2 ≈ 0,693147, то наиболее точным при использовании малых процентов среди целых чисел является числитель 69.

Две кривые, задаваемые этими функциями, достаточно хорошо совпадают (см. рисунок).

Погрешность «правила семидесяти»[править | править исходный текст]

Абсолютная ошибка «правила семидесяти»
Относительная ошибка «правила семидесяти»

Абсолютная погрешность при использовании «правила семидесяти» не превышает четырёх месяцев, если только годовой процент r > 1,01 %.

При r = 2 % точная формула и «правило семидесяти» дают идентичные результаты.

Относительная погрешность начиная с r = 2 % и выше непрерывно растёт, достигая 9.86 % при r = 25 %.

Другие варианты правила[править | править исходный текст]

Вместо 70 % также используются числа от 69 % до 72 %. Таким образом, упоминаются «правило 69», «правило 70», «правило 71», «правило 72».

Уточнения[править | править исходный текст]

Другие варианты использования[править | править исходный текст]

Правило семидесяти может использоваться не только для оценки роста денежной суммы, но также для любых других процессов, описываемых экспоненциальной зависимостью.

Срок при этом не обязан исчисляться в годах; нужно только, чтобы коэффициент r говорил об изменении величины за ту же единицу времени, в каких измеряется период удвоения T.

Кроме того, величина не обязана увеличиваться, она может уменьшатся на r процентов за единицу времени. Тогда оценивается срок не удвоения величины, а уменьшения её вдвое.

Примеры:

  1. Оценка срока, в течение которого цены вырастут вдвое в результате инфляции, если за год они растут на r процентов.
  2. Тактовая частота процессоров растет в среднем на r процентов в месяц. Через сколько месяцев эта частота удвоится? (см. закон Мура)
  3. За тысячелетие количество радиоактивного материала в слитке падает на r процентов. Через какое время количество радиоактивного материала сократится вдвое? (см. Закон радиоактивного распада)

Примечания[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]