Гипербола (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Гипербола и её фокусы
Сечения конусов плоскостью (с эксцентриситетом, большим единицы)
|d1-d2|= 2a

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от ὑπερ — «верх» + βαλειν — «бросать») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F_1 и F_2 (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

\bigl||F_1M|-|F_2M|\bigr|= 2a, причем  |F_1F_2| > 2a > 0.

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

История[править | править вики-текст]

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения[править | править вики-текст]

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение[править | править вики-текст]

Три основных конических сечения

Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающееся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек[править | править вики-текст]

Через фокусы[править | править вики-текст]

Гипербола может быть определена, как геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.

Через директрису и фокус[править | править вики-текст]

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная \varepsilon>1 называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F1 и F2. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D1 и D2. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра к оси абсцисс, восставленного из каждой из вершин до пересечения с асимптотой
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F1 и F2,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами
  • Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
  • Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
  • Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
  • Середина большой оси называется центром гиперболы.
  • Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы.
    • Обычно обозначается a.
  • Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.
    • Обычно обозначается c.
  • Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.
  • Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.
  • Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.
  • Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.
    • Обычно обозначается b.
  • В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием
    • Обычно обозначается r_p..

Соотношения[править | править вики-текст]

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

  • c^2 = a^2 + b^2\,.
  •  \varepsilon = c/a\,.
  • b^2 = a^2\left( \varepsilon^2 - 1\right)\,.
  • r_p = a\left( \varepsilon - 1\right)\,.
  • a = \frac{p}{\varepsilon^2-1}\,.
  • b = \frac{p}{\sqrt{\varepsilon^2-1}}\,.
  • c = \frac{p\varepsilon}{\varepsilon^2-1}\,.
  • p = \frac{b^2}{a}.

Типы гипербол[править | править вики-текст]

Равнобочная гипербола

Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

xy = a^2/2,

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Гиперболы, связанные с треугольником[править | править вики-текст]

См. также Треугольник#Эллипсы, параболы и гиперболы

Уравнения[править | править вики-текст]

Декартовы координаты[править | править вики-текст]

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:


A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C\,=\,0
,

где коэффициенты Axx, Axy, Ayy, Bx, By, и C удовлетворяют следующему соотношению


D = \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} < 0\,

и


\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\A_{xy} & A_{yy} & B_{y}\\B_{x} & B_{y} & C \end{vmatrix} \not= 0.

Канонический вид[править | править вики-текст]

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра, уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду:


\frac{{x}^{2}}{a^{2}} - \frac{{y}^{2}}{b^{2}} = 1
,

где a и b — полуоси[источник не указан 583 дня].

Полярные координаты[править | править вики-текст]

График гиперболы в полярных координатах

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

r = \frac{p}{\varepsilon \cos\varphi - 1}

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

\frac{1}{r} = \frac{a}{b^2}\left(1-\cos\theta\right) + \frac{1}{b}\sin\theta
Параметризация ветви гиперболы с помощью гиперболических функций

Уравнения в параметрической форме[править | править вики-текст]

Подобно тому, как эллипс может быть представлен уравнениями в параметрической форме, в которые входят тригонометрические функции, гипербола в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с её центром, а ось абсцисс проходит через фокусы, может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции[1].

\begin{cases} x=\pm a\operatorname{ch}t \\ y=b\operatorname{sh}t \end{cases}\;\;\; -\infty < t < +\infty.

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
    • Иначе говоря, если F_1 и F_2 фокусы гиперболы, то касательная в любой точки X гиперболы является биссектрисой угла \angle F_1 X F_2.
  • Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
  • Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.
  • Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; гиперболы различаются формой при a \neq b.

Асимптоты[править | править вики-текст]

Две сопряженные гиперболы (голубая и зелёная) обладают совпадающими асимптотами (красные). Эти гиперболы единичные и равнобочные, так как a = b = 1

Для гиперболы, заданной в каноническом виде


\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

уравнения двух асимптот имеют вид:

\frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0.

Диаметры и хорды[править | править вики-текст]

Диаметры гиперболы

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент k\, параллельных хорд и угловой коэффициент k_1\, соответствующего диаметра связан соотношением

k \cdot k_1 = \varepsilon^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Определение центра гиперболы по её графику

Касательная и нормаль[править | править вики-текст]

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x0, y0) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:


\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1
,

или, что то же самое,


y = y_0 + \frac{b^2x_0}{a^2y_0}\left(x-x_0\right)
.

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:


y = y_0 - \frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0}\left(x-x_0\right)
.

Кривизна и эволюта[править | править вики-текст]

Синим цветом показана гипербола. Зелёным цветом — эволюта правой ветви этой гиперболы (эволюта левой ветви вне рисунка. Красным цветом показан круг, соответствующий кривизне гиперболы в ей вершине)

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:


K = \frac{ab}{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}
.

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:


R = \frac1K =\frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{ab}
.

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен


R\left(a,0\right) = \frac{b^2}{a} = p
.

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:


\begin{cases}
x_c = \frac{x^3}{a^2}\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) \\
y_c = -\frac{y^3}{b^2}\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right)
\end{cases}

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.


\begin{cases}
x = \pm a\,\mathrm{ch}^3\,t\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) \\
y = b\,\mathrm{sh}^3\,t\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right)
\end{cases}
Эллиптическая система координат

Применения[править | править вики-текст]

  • Другие ортогональные двумерные координатные системы, построенные с помощью гипербол, могут быть получены с помощью других конформных преобразований. Например, преобразование w = z² отображает декартовы координаты в два семейства ортогональных гипербол.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 15—16. — 288 с.

Литература[править | править вики-текст]