Преобразование Титце

В теории групп преобразования Титце используются для преобразования исходного задания группы в другое, часто более простое задание той же самой группы. Преобразования названы именем Генриха Титце, предложившего их в статье 1908 года.

Задание группы осуществляется в терминах генераторов и соотношений. Формально говоря, задание группы — это пара, состоящая из множества генераторов и множества слов из свободной группы над генераторами, которые рассматриваются как соотношения. Преобразования Титце строятся на элементарных шагах, каждое из которых очевидным образом переводит задание в задание изоморфной группы. В 1908 году Титце показал, что из исходного задания для группы G можно получить любое другое задание повторным применением четырёх видов преобразований, представленных ниже.

Добавление соотношения

Если соотношение может быть выведено из существующих соотношений, то их можно добавить к заданию без изменения группы. Пусть G=〈 x | x³=1 〉— это конечное задание циклической группы порядка 3. Умножив обе стороны соотношения x³=1 на x³, мы получим x⁶ = x³ = 1, так что x⁶ = 1 выводимо из x³=1. Тогда G=〈 x | x³=1, x⁶=1 〉является другим заданием той же самой группы.

Удаление соотношения

Если соотношение может быть выведено из других соотношений, его можно удалить из задания без изменения группы. В задании G = 〈 x | x³ = 1, x⁶ = 1 〉соотношение x⁶ = 1 может быть получено из x³ = 1, так что его можно удалить. Заметим, однако, что если удалить соотношение x³ = 1 из задания группы, задание G = 〈 x | x⁶ = 1 〉 определяет циклическую группу порядка 6 и уже не задаёт ту же самую группу. Следует быть осторожными и удалять соотношение только в том случае, когда его можно вывести из оставшихся соотношений.

Добавление генератора

Если дано задание группы, можно добавить новый генератор, который выражается как слово в исходных генераторах. Начиная с задания G = 〈 x | x³ = 1 〉 и устанавливая y = x², получим новое задание G = 〈 x,y | x³ = 1, y = x² 〉 , определяющее ту же самую группу.

Удаление генератора

Если соотношение имеет вид p = V, где p — генератор, а V слово, в которое p не входит, генератор можно удалить. При этом все вхождения p в другие слова следует заменить на V. Задание элементарной абелевой группы порядка 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y²=1, z²=1, x=x⁻¹ 〉 может быть заменено на G = 〈 y,z | y² = 1, z² = 1, (yz) = (yz)⁻¹ 〉 путём удаления x.

Примеры

Пусть G = 〈 x,y | x³ = 1, y² = 1, (xy)² = 1 〉— задание симметрической группы степени три. Генератор x соответствует перестановке (1,2,3), а генератор y — перестановке (2,3). Используя преобразования Титце, можно перевести это задание в G = 〈 y, z | (zy)³ = 1, y² = 1, z² = 1 〉, где z соответствует перестановке (1,2).

G = 〈 x,y | x3 = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1 〉	(начальное состояние)
G = 〈 x,y,z| x3 = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1, z = xy 〉	Правило 3 — добавляем генератор z
G = 〈 x,y,z | x3 = 1, y2 = 1, (xy)2 = 1, x = zy 〉	Правила 1 и 2 — добавляем x = zy−1 = zy и удаляем z = xy
G = 〈 y,z | (zy)3 = 1, y2 = 1, z2 = 1 〉	Правило 4 – удаляем генератор x

См. также

• Преобразование Нильсена
• Гипотеза Эндрюса – Куртиса

Литература

• Roger C. Lyndon, Paul E Schupp. Combinatorial Group Theory. — Springer, 2001. — ISBN 3-540-41158-5.
• В. Магнус, А. Каррас, Д. Солитэр. Комбинаторная теория групп. — М.: «Наука», 1974.