Симметрическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Граф Кэли симметрической группы S4
Таблица Кэли симметрической группы S3
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg Как видно, таблица не симметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций X\to X) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества X обычно обозначается S(X). Если X=\{1,2,...,n\}, то S(X) также обозначается через S_n. Но если |X|=|Y|, то S(X) изоморфна S(Y), потому при конечном |X|=n считают, что S(X) равно S_n.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка id, определяемая как тождественное отображение:

id( x )=x для всех x\in X.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

  • При n \geq 3 симметрическая группа S_n некоммутативна.
  • При n \geq 5 симметрическая группа S_n является неразрешимой (и напротив: при n \leq 4 — разрешимой).
  • В случае, если X конечно, число элементов S(X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X. В частности, |S_n| = n!.
  • Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S(G) (Теорема Кэли).
  • Симметрическая группа S_n допускает следующее задание:
    \langle\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,(\sigma_i\sigma_{i+1})^3,\sigma_i\sigma_{j}=\sigma_j\sigma_i\ \text{if}\ |i-j|>1\rangle.
(Можно считать, что \sigma_i переставляет i и i+1.)
  • Максимальный порядок элементов группы S_n - функция Ландау.
  • центр симметрической группы тривиален при n \geq 3.
  • Симметрическая группа является совершенной (то есть группа её автоморфизмов совпадает с самой группой) тогда и только тогда, когда ее порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае n=6 группа S_6 имеет еще один внешний автоморфизм. В силу этого и предыдущего свойства при n \geq 3, n\neq 6 все автоморфизмы S_n являются внутренними, то есть каждый автоморфизм \alpha(x) имеет вид g^{-1}xg для некоторого g\in S_n.
  • Число классов сопряженных элементов симметрической группы S_n равно числу разбиений числа n.[2].
  • Множество транспозиций (12),(23),...,(n-1 \ n) является порождающим множеством S_n. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками (12),(12...n), так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
  • Знакопеременная группа A_n является нормальной подгруппой S_n. Причем n\neq 4 A_n - единственная нормальная подгруппа S_n, а при n=4 S_4 имеет еще одну нормальную подгруппу - четверную группу Клейна.

Представление симметрической группы в виде матричной[править | править исходный текст]

Любая подгруппа G группы перестановок S_n представима группой матриц из SL(n,\mathbb{Z}), при этом каждой перестановке \pi: i\to\pi (i) соответствует матрица, у которой все элементы в ячейках (i,\pi(i)) равны 1, а прочие элементы равны нулю. Например, перестановка (123) представляется следующей матрицей 3\times 3:

\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}

Такие матрицы называются перестановочными

В частности, получаем, что знакопеременная группа A_n - это группа матриц, определитель которых равен 1. Существуют представления симметрических групп меньшей размерности.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: "Факториал-Пресс", 2001.
  • Каргаполов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры.. — М.: Физматлит, 2004.
  • Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
  • Постников М.М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.
  2. последовательность A000041 в OEIS