Симметрическая группа

Граф Кэли симметрической группы S₄

Таблица Кэли симметрической группы S₃
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Как видно, таблица не симметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрической группой множества $X$ называется группа всех перестановок $X$ (то есть биекций $X\to X$) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества $X$ обычно обозначается $S(X)$. Если $X=\{1,2,...,n\}$, то $S(X)$ также обозначается через $S_n$. Но если $|X|=|Y|$, то $S(X)$ изоморфна $S(Y)$, потому при конечном $|X|=n$ считают, что $S(X)$ равно $S_n$.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка $id$, определяемая как тождественное отображение:

$id(x)=x$ для всех $x\in X$.

Связанные определения

• Подгруппа симметрической группы $S(X)$ называется группой перестановок (подстановок) $X$.
• Коммутантом $S_n$ является знакопеременная группа $A_n$.

Свойства

• При $n \geq 3$ симметрическая группа $S_n$ некоммутативна.
• При $n \geq 5$ симметрическая группа $S_n$ является неразрешимой (и напротив: при $n \leq 4$ — разрешимой).
• В случае, если $X$ конечно, число элементов $S(X)$ равно $n!$ (факториал n), где $n$ — число элементов $X$. В частности, $|S_n| = n!.$
• Каждая конечная группа $G$ изоморфна некоторой подгруппе группы $S(G)$ (Теорема Кэли).
• Симметрическая группа $S_n$ допускает следующее задание:

  $\langle\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,(\sigma_i\sigma_{i+1})^3,\sigma_i\sigma_{j}=\sigma_j\sigma_i\ \text{if}\ |i-j|>1\rangle.$

(Можно считать, что $\sigma_i$ переставляет $i$ и $i+1$.)

• Максимальный порядок элементов группы $S_n$ - функция Ландау.
• центр симметрической группы тривиален при $n \geq 3$.
• Симметрическая группа является совершенной (то есть группа её автоморфизмов совпадает с самой группой) тогда и только тогда, когда ее порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае $n=6$ группа $S_6$ имеет еще один внешний автоморфизм. В силу этого и предыдущего свойства при $n \geq 3, n\neq 6$ все автоморфизмы $S_n$ являются внутренними, то есть каждый автоморфизм $\alpha(x)$ имеет вид $g^{-1}xg$ для некоторого $g\in S_n$.
• Число классов сопряженных элементов симметрической группы $S_n$ равно числу разбиений числа n..
• Множество транспозиций $(12),(23),...,(n-1 \ n)$ является порождающим множеством $S_n$. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками $(12),(12...n)$, так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
• Знакопеременная группа $A_n$ является нормальной подгруппой $S_n$. Причем $n\neq 4$ $A_n$ - единственная нормальная подгруппа $S_n$, а при $n=4$ $S_4$ имеет еще одну нормальную подгруппу - четверную группу Клейна.

Представление симметрической группы в виде матричной

Любая подгруппа $G$ группы перестановок $S_n$ представима группой матриц из $SL(n,\mathbb{Z})$, при этом каждой перестановке $\pi: i\to\pi (i)$ соответствует матрица, у которой все элементы в ячейках $(i,\pi(i))$ равны 1, а прочие элементы равны нулю. Например, перестановка $(123)$ представляется следующей матрицей $3\times 3$:

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Такие матрицы называются перестановочными

В частности, получаем, что знакопеременная группа $A_n$ - это группа матриц, определитель которых равен 1. Существуют представления симметрических групп меньшей размерности.

См. также

• Действие группы
• PQ дерево — структура данных, используемая для представления симметрической группы.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: "Факториал-Пресс", 2001.
• Каргаполов М.И, Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, Физматлит, 1982.
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры.. — М.: Физматлит, 2004.
• Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
• Постников М.М. Теория Галуа. — М.: Физматлит, 1963.