Группа (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Гру́ппа в математике — множество элементов с определённой на нём ассоциативной бинарной операцией, унарной операцией взятия обратного элемента и выделенным нейтральным элементом, связанное некоторыми естественными свойствами — групповыми аксиомами[⇨]. Ветвь общей алгебры занимающаяся группами, называется теорией групп.

Наиболее известный пример группы — множество целых чисел, снабжённое операцией сложения: сумма любых двух целых также даёт целое число, число с противоположным знаком даёт обратный элемент, а роль нейтрального элемента играет нуль. Другие примеры — множество вещественных чисел с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат. Благодаря абстрактному определению группы через систему аксиом, не привязанной к специфике образующих множеств, в теории групп создан универсальный аппарат для изучения широкого класса математических объектов самого разнообразного происхождения с точки зрения общих свойств их структуры. Вездесущность групп в математике и за её пределами делает их важнейшей конструкцией в современной математике и её приложениях.

Группа фундаментально родственна понятию симметрии и является важным инструментом в изучении всех её проявлений. Например, группа симметрии отражает свойства геометрического объекта: она состоит из множества преобразований, оставляющих объект неизменным, и операции комбинирования двух таких преобразований, следующих друг за другом. Такие группы симметрии, как группы Ли, применяются в Стандартной модели физики элементарных частиц; точечные группы симметрии помогают понять явление молекулярной симметрии в химии; группы Пуанкаре характеризуют физическую симметрию, лежащую в основе специальной теории относительности.

Понятие группы ввёл Эварист Галуа, изучая многочлены в 1830-е годы. Новые результаты из таких областей, как теория чисел и геометрия, позволили обобщить концепцию групп и прочно утвердить их в математике к 1870 году. Современная теория групп является активным разделом математики[1]. Один из наиболее впечатляющих результатов достигнут в монументальной классификации простых конечных групп, о завершении которой объявлено в 1983 году: доказательство теоремы составляет десятки тысяч страниц сотен научных статей более ста авторов, опубликованных с 1955 года, но статьи продолжают появляться из-за обнаруживаемых пробелов в доказательстве. С середины 1980-х годов значительное развитие получила геометрическая теория групп, изучающая конечно-порождённые группы как геометрические объекты.

Определения[править | править вики-текст]

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией \,*\,\colon G \times G \to G называется группой (G,*), если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: \forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c);
  2. наличие нейтрального элемента: \exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a);
  3. наличие обратного элемента: \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)

Комментарии[править | править вики-текст]

  • Элемент a^{-1}, обратный элементу a, единственен.
  • В определении группы 2-ю и 3-ю аксиомы можно заменить одной аксиомой существования обратной операции:
\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G): (a*x=b)\and (y*a=b).
  • Вышеприведённые аксиомы не являются строго минимальными. Для существования нейтрального и обратного элементов достаточно наличия левого нейтрального (e_l*a=a\,) и левого обратного (a_l^{-1}*a=e_l) элементов. При этом они автоматически являются e и a^{-1}:
a_l^{-1}*a*a_l^{-1}=e_l*a_l^{-1}=a_l^{-1} \Rightarrow e_l*a*a_l^{-1}=e_l \Rightarrow a*a_l^{-1}=e_l
a*e_l=a*a_l^{-1}*a=e_l*a=a\,

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • В общем случае от группы не требуется выполнения свойства коммутативности
    • Пары элементов a,\;b, для которых выполнено равенство a*b = b*a, называются перестановочными или коммутирующими.
    • Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы.
    • Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется коммутативной или абелевой.
  • Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.
  • Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).
    • Если множество G конечно, то группа называется конечной.

Стандартные обозначения[править | править вики-текст]

Мультипликативная запись[править | править вики-текст]

Обычно групповую операцию называют (абстрактным) умножением; тогда применяется мультипликативная запись:

  • результат операции называют произведением и записывают a*b или ab;
  • нейтральный элемент обозначается «1» и называется единицей;
  • обратный к a элемент записывается как a^{-1}.

Если групповая операция именуется умножением, то саму такую группу G при этом называют мультипликативной и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: (G,•).

Кратные произведения aa, aaa,\dots записывают в виде натуральных степеней a^2, a^3,\dots[2]. Для элемента a корректно[3] определена целая степень, следующим образом:

a^0=e,
a^{-n}=(a^{-1})^n.

Для степени элемента справедливо a^{m+n}=a^m* a^n, (a^n)^m=a^{nm}, \forall n,m\in\mathbb Z. В частности, e^n=e, \forall n\in\mathbb Z.

Аддитивная запись[править | править вики-текст]

В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) сложение и записывается аддитивно:

  • пишут «a + b» и называют получившийся элемент суммой элементов a и b;
  • обозначают нейтральный элемент «0» и называют его нулём;
  • обратный элемент к a обозначают как «−a» и называют его противоположным к a элементом;
  • запись сокращают следующим образом: a + (-b) = a — b;
  • выражения вида a + a, a + a + a, -aa, … обозначают символами 2a, 3a, −2a, …

Если групповая операция именуется сложением, то саму такую группу G при этом называют аддитивной и при полном способе записи обозначают так: (G,+).

Примеры[править | править вики-текст]

  • Целые числа с операцией сложения. (\Z,+) — коммутативная группа с нейтральным элементом 0.
  • Положительные рациональные числа с операцией умножения. Произведение рациональных чисел — снова рациональное число, обратный элемент к рациональному числу представляется обратной дробью, имеется ассоциативность и единица.
  • Свободная группа с двумя образующими (F_2) состоит из пустого слова, которое мы обозначаем \varepsilon (это единица нашей группы), и всех конечных слов из четырёх символов a, a^{-1}, b и b^{-1} таких, что a не появляется рядом с a^{-1} и b не появляется рядом с b^{-1}. Операция умножения таких слов — это просто соединение (конкатенация) двух слов в одно с последующим сокращением пар aa^{-1}, a^{-1}a, bb^{-1} и b^{-1}b.
  • Группа кубика Рубика — подгруппа симметрической группы S48, элементы которой соответствуют движениям кубика Рубика. Композиция двух движений снова является движением, для каждого движения существует обратный элемент, имеется ассоциативность и нейтральный элемент.

Простейшие свойства[править | править вики-текст]

  • Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.
  • (a−1)−1 = a, aman = am+n, (am)n = amn.
  • (ab)−1 = b−1a−1.
  • Верны законы сокращения:
c \cdot a = c \cdot b \Leftrightarrow a = b,
a \cdot c = b \cdot c \Leftrightarrow a = b.
  • Обратный элемент к нейтральному есть сам нейтральный элемент.
  • Группа содержит единственное решение x любого уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».
  • Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.
  • Теорема Лагранжа: если G — группа конечного порядка g, то порядок g1 любой её подгруппы G1 является делителем порядка группы. Из этого следует, что и порядок любого элемента делит порядок группы.
  • Для определения числа подгрупп в группе используются теорема Лагранжа и теоремы Силова.

Способы задания группы[править | править вики-текст]

Группу можно задать:

  • Полупрямым произведением двух групп и, в частности,
    • Прямым произведением двух групп (G,•) и (H,•), то есть множеством G×H пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: (g1, h1) • (g2, h2) = (g1g2, h1h2).
  • Свободным произведением двух групп G и H есть группа, система образующих которой есть объединение систем образующих G и H, a система соотношений есть объединение систем соотношений G и H. Например, модулярная группа является свободным произведением \Z_2 и \Z_3.

История[править | править вики-текст]

Идея группы появилась в исследованиях перестановок корней алгебраических уравнений, начиная с работ Лагранжа (1771), Руффини (1799), Абеля (1826) Галуа (1831). Лагранж исследовал решения уравнений степени три и четыре, тогда как Руффини, Абель и Галуа показали неразрешимость в радикалах общего уравнения степени пять и выше. Галуа первым использовал термин «группа» в его современном смысле.

Основываясь на разработках других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и аксиоматически определено Кронекером в 1870 году.[источник не указан 218 дней]

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Группы с дополнительной структурой[править | править вики-текст]

Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке теории категорий[4] это — групповые объекты в категории; иными словами, это — объекты (т.е., например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых морфизмами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является множеством, так что группа есть групповой объект в категории множеств Set (морфизмы в этой категории — отображения множеств).

Топологические группы[править | править вики-текст]

Некоторые топологические пространства могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться топологической группой. Именно, топологическая группа — это[5] группа, являющаяся одновременно топологическим пространством, причём умножение элементов группы G × GG и операция взятия обратного элемента GG оказываются непрерывными отображениями в используемой топологии. Топологические группы являются групповыми объектами в топологических пространств Top.

Наиболее важные примеры топологических групп — это[6] аддитивная группа действительных чисел (R,+), мультипликативная группа ненулевых действительных чисел (R*,•), полная линейная группа GL(n) порядка n, специальная линейная группа SL(n) порядка n, ортогональная группа O(n) порядка n, специальная ортогональная группа SO(n) порядка n, унитарная группа U(n), специальная унитарная группа SU(n) порядка n и др.

Группы Ли[править | править вики-текст]

Группы Ли (названы в честь Софуса Ли) — это группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием над полем K (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы G × GG и операция взятия обратного элемента GG оказываются гладкими отображениями (в комплексном случае требуется голоморфность введённых отображений)). При этом всякая комплексная n-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности 2n.

Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.

Естественным образом группы Ли возникают при рассмотрении непрерывных симметрий; так, группу Ли образуют[7] изометрии вида EE, где Eевклидово точечное пространство (полученная группа, обозначаемая[8] Is(E), является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы пространства E, обозначаемой[9] Aff(E)).

Группы Ли являются (в плане богатства имеющейся на них структуры) лучшими из многообразий и, как таковые, очень важны в дифференциальной геометрии и топологии. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Только в 2005 году, согласно данным MathSciNet, было опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в области Group theory and generalisations.
  2. Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности
  3. Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
  4. Букур И., Деляну А.  Введение в теорию категорий и функторов.  М.: Мир, 1972.  259 с.
  5. Бурбаки Н.  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства.  М.: Наука, 1969.  С. 12.
  6. Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  М.: Наука, 1977.  С. 268—271.
  7. Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия.  М.: Наука, 1986.  С. 201.
  8. Дьедонне Ж.  Линейная алгебра и элементарная геометрия.  М.: Наука, 1972.  С. 129.
  9. Долгачёв И. В., Широков А. П.  Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1.  М.: Сов. энциклопедия, 1982.  Стб. 362—363.

Литература[править | править вики-текст]

Популярная литература[править | править вики-текст]

Научная литература[править | править вики-текст]

  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
  • Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
  • Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
  • Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.