Решето Сундарама

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике решето́ Сундара́мадетерминированный алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n. Разработан индийским студентом С. П. Сундарамом в 1934 году.

Описание[править | править исходный текст]

Из ряда натуральных чисел от 1 до N исключаются все числа вида

i+j+2ij,

где индексы i\leq j пробегают все натуральные значения, для которых i+j+2ij \leq N, а именно значения i=1,\;2,\;\ldots,\;\left\lfloor \frac{\sqrt{2N+1}-1}2\right\rfloor и j=i,\;i+1,\;\ldots,\;\left\lfloor \frac{N-i}{2i+1}\right\rfloor. Затем каждое из оставшихся чисел умножается на 2 и увеличивается на 1. Полученная в результате последовательность представляет собой все нечётные простые числа в отрезке [1,2N+1].

Обоснование[править | править исходный текст]

Алгоритм работает с нечётными натуральными числами большими единицы, представленными в виде 2m+1, где m является натуральным числом.

Если число 2m+1 является составным, то оно представляется в виде произведения двух нечётных чисел больших единицы, то есть:

2m+1 = (2i+1)(2j+1)

где i и j — натуральные числа, что также равносильно соотношению:

m = 2ij+i+j.

Таким образом, если из ряда натуральных чисел исключить все числа вида 2ij + i + j, 1 \le i \le j, то для каждого из оставшихся чисел m число 2m+1 обязано быть простым. И, наоборот, если число 2m+1 является простым, то число m невозможно представить в виде 2ij+i+j и, таким образом, m не будет исключено в процессе работы алгоритма.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]