Натуральное число

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком $\mathbb{N}$. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Ноль как натуральное число

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют 1 на 0. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций ноль, как и пустое множество, не является чем-то выделенным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом $\N$ образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел $0\notin\mathbb{N}$, а множество натуральных чисел с нулём обозначается как $\mathbb{N}_0$. Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как $\mathbb{N}$, а без нуля как $\mathbb{N}^*$.

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество $\{1,2,\dots\}$ обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают $\Z_+$. Множество $\{0,1,\dots\}$ зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают $\Z_{\geqslant 0}$.

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

• Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
• Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
• Возведение в степень a^b, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

• Вычитание. Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
• Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a = p * b + r, причём $0\leqslant r<b$. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе a можно представить в виде a = p * 0 + a, то есть можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

• $[A] + [B] = [A \sqcup B]$
• $[A] * [B] = [A \times B]$
• [A]^[B] = [A^B]

где $A \sqcup B$ — дизъюнктное объединение множеств, $A \times B$ — прямое произведение, A^B — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Основные свойства

1. Коммутативность сложения. $\,\! a + b = b + a$
2. Коммутативность умножения. $\,\! ab = ba$
3. Ассоциативность сложения. $\,\! (a + b) + c = a + (b + c)$
4. Ассоциативность умножения. $\,\! (ab)c = a(bc)$
5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. $\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}$

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел $\mathbb Z$ и рациональных положительных чисел $\mathbb Q^*_+$ соответственно.

См. также

$1,\;2,\;\ldots$ Натуральные числа $0,\;1,\;-1,\;\ldots$ Целые числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots$ Рациональные числа $1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots$ Вещественные числа $-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots$ Комплексные числа
$1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots$	Кватернионы

• Отрицательное число
• Ноль
• Нумерология

Ссылки

• http://Lib.Mexmat.Ru — «Поиск книг по теме»