Натуральное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте. Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке их возрастания, называется натуральным рядом.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — это числа, возникающие при:

  • подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, …);
  • обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход, то есть ноль не считается натуральным числом[1]. Второй подход встречается у некоторых зарубежных авторов — например, он принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Кроме того, отсчёт с нуля широко распространён в программировании (например, для индексации массивов, нумерации битов машинного слова и т. д.).

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом \mathbb{N} (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего нуль. Расширенный ряд обозначается[1] \mathbb{N}_0 или \mathbb{Z}_0.

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел[править | править вики-текст]

Аксиомы Пеано для натуральных чисел[править | править вики-текст]

Множество \mathbb N будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент  1\in\mathbb N (единица) и функция S\colon\mathbb N\to\mathbb N (функция следования) так, что выполнены следующие условия

  1. 1\in\mathbb{N} (1 является натуральным числом);
  2. Если x\in\mathbb{N}, то S(x)\in\mathbb{N} (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1) (1 не следует ни за каким натуральным числом);
  4. Если S(b)=a и S(c)=a, тогда b=c (если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b=c);
  5. Аксиома индукции. Пусть P(n) — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа n. Тогда:
если P(1) и \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n))), то \forall n\;P(n)
(Если некоторое высказывание P верно для n=1 (база индукции) и для любого n при допущении, что верно P(n), верно и P(n+1) (индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[2], а также краткое доказательство[3]), что если (\mathbb N, 1, S) и (\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S) — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует биекция f\colon\mathbb N\to\tilde{\mathbb N} такая, что f(1)=\tilde 1 и f(S(x))=\tilde S(f(x)) для всех x\in\mathbb N.

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве \mathbb N какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (Определение Фреге-Рассела)[править | править вики-текст]

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  • 0=\varnothing
  • S(n)=n\cup\left\{n\right\}

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

  • 0=\varnothing
  • 1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing\right\}
  • 2=\left\{0,1\right\}=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}
  • 3=\left\{0,1,2\right\}=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}

Ноль как натуральное число[править | править вики-текст]

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют 1 на 0. В этом случае нуль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств 0 является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Одним из преимуществ натурального нуля является то, что при этом \N образует полугруппу с единицей.

В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел 0\notin\mathbb{N}, а множество натуральных чисел с нулём обозначается как \mathbb{N}_0. Если в определение натуральных чисел включен нуль, то множество натуральных чисел записывается как \mathbb{N}, а без нуля как \mathbb{N}^*.

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество \{1,2,\dots\} обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают \Z_+. Множество \{0,1,\dots\} зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают \Z_{\geqslant 0}.

Операции над натуральными числами[править | править вики-текст]

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
  • Умножение. Множитель × Множитель = Произведение
  • Возведение в степень a^b, где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

  • Вычитание. Уменьшаемое − Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
  • Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p\cdot b+r, причём 0\leqslant r<b. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на нуль, так как иначе a можно представить в виде a=p\cdot 0+a, то есть можно было бы считать частным 0, а остатком = a.

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства[править | править вики-текст]

  1. Коммутативность сложения. \,\! a + b = b + a
  2. Коммутативность умножения. \,\! ab = ba
  3. Ассоциативность сложения. \,\! (a + b) + c = a + (b + c)
  4. Ассоциативность умножения. \,\! (ab)c = a(bc)
  5. Дистрибутивность умножения относительно сложения. \,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}

Алгебраическая структура[править | править вики-текст]

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел \mathbb Z и рациональных положительных чисел \mathbb Q^*_+ соответственно.

Теоретико-множественные определения[править | править вики-текст]

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью скобок [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

  • [A] + [B] = [A \sqcup B]
  • [A] \cdot [B] = [A \times B]
  • {[A]}^{[B]} = [ A^B ]

где A \sqcup B — дизъюнктное объединение множеств, A \times B — прямое произведение, A ^ B — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — 560 с.
  2. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
  3. Доказательство единственности натуральных чисел. Проверено 4 февраля 2011. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011.