Словарная метрика на группе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Словарная метрика — способ задавать расстояния на конечнопорождённой группе.

Конструкция[править | править вики-текст]

Если выбрана и зафиксирована конечная система образующих F в конечнопорождённой группе \Gamma, то расстояние между элементами g и h — это наименьшее число образующих и обратных к ним, в произведение которых раскладывается частное g^{-1}h.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Словарная метрика левоинвариантна; то есть сохраняется умножении слева на фиксированный элемент группы.
    • Для неабелевых групп она, вообще говоря, не является правоинвариантной.
  • Словарная метрика совпадает с расстоянием в графе Кэли для той же системы образующих.
  • Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется квазиизометрично (в данном случае это то же самое, что билипшицевым образом). То есть для некоторых констант C_1, C_2 имеет место:
    \forall g,h \in G \quad \frac{1}{C_1} d_2(g,h) \le d_1 (g,h) \le C_2 d_2(g,h)..
  • В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии. Например, говорить о степени роста группы (полиномиальной, экспоненциальной, промежуточной) и о её гиперболичности.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Аналогичным способом словарная метрика может быть построена на произвольной группе (не обязательно конечнопорождённой), при этом становится необходимо брать бесконечную систему образующих и многие описанные свойства перестают выполняться.