Теорема Бараньяи

Разбиение полного графа с 8 вершинами на 7 цветов (совершенные паросочетания), случай r = 2 теоремы Бараньяи

Теорема Бараньяи — теорема о разбиениях полных гиперграфов. Доказана Жолтом Бараньяи и названа его именем.

Формулировка

Если $2\leqslant r<k$ являются натуральными числами и r делит k, то полный гиперграф $K_{r}^{k}$ можно разложить на 1-факторы.

Замечания

• $K_{r}^{k}$ — это гиперграф с k вершинами, в котором каждое подмножество из r вершин образует гиперребро.
• 1-фактор этого гиперграфа — это набор гиперрёбер, которые содержат каждую вершину в рёбрах ровно раз, что эквивалентно разбиению вершин на подмножества размера r.

Таким образом, теорема утверждает, что k вершин гиперграфа могут быть разбиты на подмножества r вершин ${\binom {k}{r}}{\frac {r}{k}}={\binom {k-1}{r-1}}$ различными способами таким образом, что каждое r-элементное подмножество появляется ровно раз в разбиении.

Случай $r=2$

В специальном случае $r=2$ мы имеем полный граф $K_{n}$ с $n$ вершинами и хотим раскрасить рёбра в ${\binom {n}{2}}{\frac {2}{n}}=n-1$ цветов так, что рёбра каждого цвета образуют совершенное паросочетание. Теорема Бараньяи утверждает, что мы можем это сделать, если $n$ чётно.

История

Случай r = 2 можно переформулировать как утверждение, что любой полный граф с чётным числом вершин имеет рёберную раскраску, число цветов которой равно его степени, или, эквивалентно, что рёбра могут быть разбиты на совершенные паросочетания. Это можно использовать для создания круговых турниров и решение было известно в 19-м веке. Случай k = 2r также прост.

Случай r = 3 рассмотрел в 1963 году Р. Пелтесон. Общий случай доказал в 1975 году Жолт Бараньяи.