Факторизация графа

1-факторизация графа Дезарга — каждый класс цветов является 1-фактором.

Граф Петерсена можно разбить на 1-фактор (красный) и 2-фактор (синий). Однако, граф не является 1-факторизуем.

Фактор графа G — это остовный подграф, то есть подграф, имеющий те же вершины, что и граф G. k-фактор графа — это остовный k-регулярный подграф, а k-факторизация разбивает рёбра графа на непересекающиеся k-факторы. Говорят, что граф G k-факторизуем, если он позволяет k-разбиение. В частности, множество рёбер 1-фактора — это совершенное паросочетание, а 1-разложение k-регулярного графа — это рёберная раскраска k цветами. 2-фактор — это набор циклов, которые покрывают все вершины графа.

1-факторизация

Если граф 1-факторизуем (то есть имеет 1-факторизацию), то он должен быть регулярным графом. Однако не все регулярные графы являются 1-факторизуемыми. k-регулярный граф является 1-факторизуемым, если его хроматический индекс равен k. Примеры таких графов:

• Любой регулярный двудольный граф. С помощью теоремы Холла о свадьбах можно показать, что k-правильный двудольный граф содержит совершенное сочетание. Можно тогда удалить совершенное паросочетание и (k − 1)-регулярный двудольный граф и продолжить тот же процесс рекурсивно.
• Любой полный граф с чётным числом вершин (см. ниже).

Однако имеются k-регулярные графы, хроматический индекс которых равен k + 1, и эти графы не 1-факторизуемы. Примеры таких графов:

• Любой регулярный граф с нечётным числом вершин.
• Граф Петерсена.

Полные графы

1-факторизация K₈, в котором любой 1-фактор состоит из ребра, соединяющего центр с вершиной семиугольника, и всех перпендикулярных этому ребру рёбер

1-факторизация полного графа соответствует разбиению на пары в круговых турнирах. 1-факторизация полных графов является специальным случаем теоремы Бараньяи относительно 1-факторизации полных гиперграфов.

Один из способов построения 1-факторизации полного графа помещает все вершины, кроме одной, на окружности, образуя правильный многоугольник, оставшаяся же вершина помещается в центр окружности. При этом расположении вершин процесс построения 1-фактора заключается в выборе ребра e, соединяющего центральную вершину с одной из вершин на окружности, затем выбираются все рёбра, перпендикулярные ребру e. 1-факторы, построенные таким образом, образуют 1-факторизацию графа.

Число различных 1-факторизаций $K_{2},K_{4},K_{6},K_{8},\dots$ равно 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, … (последовательность A000438 в OEIS).

Гипотеза об 1-факторизации

Пусть G — k-регулярный граф с 2n вершинами. Если k достаточно велико, известно, что G должен быть 1-факторизуем:

• Если $k=2n-1$, то G является полным графом $K_{2n}$, а потому 1-факторизуем (см. выше).
• Если $k=2n-2$, то G можно получить путём удаления совершенного паросочетания из $K_{2n}$. Снова G является 1-факторизуемым.
• Четвинд и Хилтон показали, что при $k\geqslant {\tfrac {12n}{7}}$ граф G 1-факторизуем.

Гипотеза об 1-факторизации является давно выдвинутой гипотезой, утверждающей, что значение $k\approx n$ достаточно велико. Точная формулировка:

• Если n нечётно и $k\geqslant n$, то G 1-факторизуем. Если n чётно и $k\geqslant n-1$, то G 1-факторизуем.

Гипотеза сильного заполнения заключает в себе гипотезу об 1-факторизации.

Совершенная 1-факторизация

Совершенная пара 1-факторизаций — это пара 1-факторов, объединение которых даёт гамильтонов цикл.

Совершенная 1-факторизация (P1F) графа — это 1-факторизация, имеющая свойство, что любая пара 1-факторов является совершенной парой. Совершенная 1-факторизация не следует путать с совершенным паросочетанием (которое также называют 1-фактором).

В 1964 году Антон Котциг высказал предположение, что любой полный граф $K_{2n}$, где $n\geqslant 2$, имеет совершенную 1-факторизацию. Известно, что следующие графы имеют совершенные 1-факторизации:

• Бесконечное семейство полных графов $K_{2p}$, где p — нечётное простое (Андерсон и Накамура, независимо),
• Бесконечное семейство полных графов $K_{p+1}$, где p — нечётное простое
• спорадически другие графы, включая $K_{2n}$, где $2n\in \{16,28,36,40,50,126,170,244,344,730,1332,1370,1850,2198,3126,6860,12168,16808,29792\}$. Есть и более свежие результаты здесь.

Если полный граф $K_{n+1}$ имеет совершенную 1-факторизацию, то полный двудольный граф $K_{n,n}$ также имеет совершенную 1-факторизацию.

2-факторизация

Если граф 2-факторизуем, то он должен быть 2k-регулярным для некоторого целого k. Юлиус Петерсен показал в 1891, что это необходимое условие является также достаточным — любой 2k-регулярный граф является 2-факторизуемым.

Если связный граф является 2k-регулярным и имеет чётное число рёбер, он также может быть k-факторизуем путём выбора двух факторов, являющихся чередующимися рёбрами эйлерова цикла. Это относится только к связным графам, несвязные контрпримеры содержат несвязное объединение нечётных циклов или копий графа K_2k+1.