Теорема Коши — Ковалевской

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Формулировка[править | править исходный текст]

Рассмотрим пространство R^{n+1}. Точку пространства R^{n+1} будем обозначать через (x, t) = (x_{1},..., x_{n}, t), а точку, принадлежащую R^n, через x = (x_{1},..., x_{n}). Обозначим оператор частного дифференцирования L \equiv \left ( \frac{d}{dt} \right ) + \sum_{|\nu|+j \leqslant m, j \leqslant m - 1} a_{\nu, j}(x, t) \left ( \frac{d}{dx} \right )^{\nu} \left ( \frac{d}{dt} \right )^{j}. Предположим, что коэффициенты оператора L определены в окрестности U начала координат в пространствне переменных (x, t) и являются аналитическими функциями. Пусть функция f также аналитична в U. Пусть вектор \Psi начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат x — пространства. Тогда существуют окрестность W начала координат и единственная аналитическая функция u(x,t), определённая в W, для которой Lu=f, (x,t) \mathcal {2} W, \left ( \frac{d}{dt} \right )^j u(x, 0)=u_j(x), x \mathcal {2} W \cap \mathcal {f} t=0 \mathcal {g} (j=0, 1, 2,..., m-1) (1)

Доказательство[править | править исходный текст]

Положим \tilde{u}(x,t)=u(x,t)-\sum_{j=0}^{m-1}\frac{t^j}{j!}u_j(x). Тогда из (1) вытекает, что  L[\tilde{u}] = f - \sum_{j=0}^{m-1} L[ \frac{t^j}{j!} u_{j}(x) ]. Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для u(x, t) равны нулю. Перепишем (1) в виде \left ( \frac{d}{dt} \right )^m u(x,t)= \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (x, t; \frac{d}{dx})\left (\frac{d}{dt} \right )^j u(x,t)+f(x,t) (2), где {\alpha}_{j}(x, t; {\xi}) — полином по \xi степени m-j, коэффициенты которого аналитичны в окрестности U начала координат. Легко видеть, что коэффициенты c_{\nu,j} разложения в ряд Тейлора u(x,t)=\sum_{j \geqslant m; \nu} c_{\nu, j}x^{\nu}t^j (3) определяются однозначно уравнением (2) и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда (3).

Для доказательства сходимости ряда (3) используются мажорантные ряды и полиномы. Функция F(x,t) называется мажорантным рядом для f(x,t) в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты C_{\mu, j} её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов c_{\mu, j} разложения функции f(x,t) в ряд Тейлора, то есть C_{\mu, j} \geqslant | c_{\mu, j} |.

История[править | править исходный текст]

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]