Ряд Тейлора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора[1] — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки {a}. Формальный ряд

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

То есть, рядом Тейлора для функции f(x) в окрестности точки a называется степенной ряд относительно двучлена x - a вида f(a) + {f'(a) \over 1!}(x - a) + {f''(a) \over 2!}(x - a)^2 + ... + {f^{(n)}(a) \over n!}(x - a)^n + ...[2]

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • В случае, если a=0, этот ряд также называется рядом Маклорена.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если f есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
  • Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Коши предложил такой пример:
    f(x)=
\left\{
\begin{matrix}
0,&\ \ x=0\\
e^{-\frac{1}{x^2}} &\ \ x\not=0
\end{matrix}
\right.,\ \  a=0.

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны нулю.

Формула Тейлора[править | править вики-текст]

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

тогда: \exists точка \xi\in (x,a) при x < a или \xi\in (a,x) при x > a:

f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена[править | править вики-текст]

В форме Лагранжа:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1

В форме Коши:

R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1

В интегральной форме:

R_{n+1}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt

Ослабим предположения:

  • Пусть функция f(x) имеет n-1 производную в некоторой окрестности точки a
  • И n производную в самой точке a, тогда:
В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):
R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ]~

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править вики-текст]

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править вики-текст]

Пусть функция f(x,y) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Введём дифференциальный оператор

\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции f(x,y) по степеням (x-x_0)^k и (y-y_0)^k в окрестности точки (x_0, y_0) будет

f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),

где R_n(x,y) — остаточный член в форме Лагранжа:

R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]

В случае функции одной переменной \mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac d {dx}, поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе \mathrm{T}.

Формула Тейлора для большого числа переменных[править | править вики-текст]

Для разложения в ряд Тейлора функции n переменных f(x_1, x_2, ... x_n), которая в некоторой окрестности точки (x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0}) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

\mathrm{T}=(x_1-x_{10})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-x_{20})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-x_{n0})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.

Тогда разложение функции в ряд Тейлора по степеням (x_i-x_{i0})^k в окрестности точки (x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0}) имеет вид

f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0})} {k!} + R_n(x_1, x_2, ... x_n),

где R_n(x_1, x_2, ... x_n) — n-ый член ряда.

Пример разложения в ряд Тейлора функции большого числа переменных[править | править вики-текст]

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных. Для простоты обозначим переменные x, y и z, разложение проведём в окрестностях точки (0, 0, 0) и возьмём члены порядка не более второго.

Оператор T будет иметь вид

\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_n(x, y, z) =

= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_n(x, y, z);

Учитывая, что

T^2 = 
x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},

получим

f(x, y, z)=  f_0 +

x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z} 

+ \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +


+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z}

+ R_n(x, y, z).


Например, при f(x,y,z)=e^{x+y+z},

f(x, y, z)=  1 + x + y + z  
+ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2}
+ xy + xz + yz + R_n(x, y, z).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21–23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200–1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329–332.
  2. Запорожец Г.И. "Руководство к решению задач по математическому анализу" - С. 371
  3. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой \arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2}, где \arccos x = {\pi\over 2}-\arcsin x

Литература[править | править вики-текст]