Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение

Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки ${a}$. Формальный ряд

$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$

называется рядом Тейлора функции $f$ в точке $a$.

Связанные определения

• В случае, если $a=0$, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

• Если $f$ есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке $a$ области определения $f$ сходится к $f$ в некоторой окрестности $a$.
• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности $a$. Например, Коши предложил такой пример:

  $f(x)= \left\{ \begin{matrix} 0,&\ \ x=0\\ e^{-\frac{1}{x^2}} &\ \ x\not=0 \end{matrix} \right.,\ \ a=0.$

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке $a=0$ равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция $f(x)$ имеет $n+1$ производную в некоторой окрестности точки $a$, $U(a, \epsilon)$ Пусть $x\in U(a, \epsilon)$ Пусть $p$ — произвольное положительное число, тогда: $\exists$ точка $\xi\in (x,a)$ при $x < a$ или $\xi\in (a,x)$ при $x > a$: $f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)$

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1$

В форме Коши:

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1$

В интегральной форме:

$R_{n+1}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt$

Ослабим предположения:

• Пусть функция $f(x)$ имеет $n-1$ производную в некоторой окрестности точки $a$
• И $n$ производную в самой точке $a$, тогда:

$R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ]~$ — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Ряды Маклорена некоторых функций (a=0)

• Экспонента: $\mathrm{e}^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}$
• Натуральный логарифм: $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},$ для всех $\left| x \right| < 1$
• Биномиальное разложение: $(1+x)^\alpha = 1+\sum^{\infin}_{n=1} {\alpha \choose n} x^n,$ для всех $\left| x \right| < 1$ и всех комплексных $~\alpha,$ где ${\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!$
  • Квадратный корень: $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n,$ для всех $|x|<1\!$
  • $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} x^n,$ для всех $|x| < 1$
  • Конечный геометрический ряд: $\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n,$ для всех $x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0\!$
• Тригонометрические функции:
  • Синус: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}$
  • Косинус: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}$
  • Тангенс: $\operatorname{tg}\ x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},$ для всех $\left| x \right| < \frac{\pi}{2},$ где $B_{2n}$ — Числа Бернулли
  • Секанс: $\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$ для всех $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$ где $E_{2n}$ — числа Эйлера (англ. Euler numbers)
  • Арксинус: $\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$
  • Арккосинус: $\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$
  • Арктангенс: $\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$
• Гиперболические функции:
  • $\operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}$
  • $\operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}$
  • $\operatorname{th}\,\left(x\right) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right| < \frac{\pi}{2}$
  • $\operatorname{arsh}\, \left(x\right) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$
  • $\operatorname{arth}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция $f(x,y)$ имеет полные производные вплоть до $n$-го порядка включительно в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Введём дифференциальный оператор

$\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}$.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции $f(x,y)$ по степеням $(x-x_0)^k$ и $(y-y_0)^k$ в окрестности точки $(x_0, y_0)$ будет

$f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),$

где $R_n(x,y)$ — остаточный член в форме Лагранжа:

$R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]$

В случае функции одной переменной $\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac d {dx}$, поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе $\mathrm{T}$.

Формула Тейлора для большого числа переменных

Для разложения в ряд Тейлора функции $n$ переменных $f(x_1, x_2, ... x_n)$, которая в некоторой окрестности точки $(x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0})$ имеет полные производные вплоть до $n$-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

$\mathrm{T}=(x_1-x_{10})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-x_{20})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-x_{n0})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.$

Тогда разложение функции в ряд Тейлора по степеням $(x_i-x_{i0})^k$ в окрестности точки $(x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0})$ имеет вид

$f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_{10}, x_{20}, ..., x_{n0})} {k!} + R_n(x_1, x_2, ... x_n),$

где $R_n(x_1, x_2, ... x_n)$ — остаточный член.

Пример разложения в ряд Тейлора функции большого числа переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных. Для простоты обозначим переменные x, y и z, разложение проведём в окрестностях точки (0, 0, 0) и возьмём члены порядка не более второго.

Оператор T будет иметь вид

$\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.$

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

$f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_n(x, y, z) =$

$= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_n(x, y, z);$

Учитывая, что

$T^2 = x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},$

получим

$f(x, y, z)= f_0 + x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z} + \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +$

$+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z} + R_n(x, y, z).$

Например, при $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$,

$f(x, y, z)= 1 + x + y + z + \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} + xy + xz + yz + R_n(x, y, z).$

См. также

• Теорема Тейлора
• Ряд Фурье
• Ряд Лорана
• Дельсарт, Жан Фридерик

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л.И. Математический анализ. Т. 1, 2. - 2001.

* Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.

• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
• Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.