Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Связанные определения

• В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

• Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например, Коши предложил такой пример:

  $f(x)= \left\{ \begin{matrix} 0,&\ \ x=0\\ e^{-\frac{1}{x^2}} &\ \ x\not=0 \end{matrix} \right.,\ \ a=0.$

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a = 0 равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, $U(a, \epsilon)$ Пусть $x\in U(a, \epsilon)$ Пусть p — произвольное положительное число, тогда: $\exists$ точка $\xi\in (x,a)$ при x < a или $\xi\in (a,x)$ при x > a: $f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)$

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1$

В форме Коши:

$R_{n+1}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1$

В интегральной форме:

$R_{n+1}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt$

Ослабим предположения:

• Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a
• И n производную в самой точке a, тогда:

$R_{n+1}(x) = o[(x - a)^n ]~$ — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

$\mathrm{e}^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}$

Натуральный логарифм:

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(- 1)^{n+1}x^n}{n},$ для всех $\left| x \right| < 1$

Биномиальное разложение:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n,$ для всех $\left| x \right| < 1$ и всех комплексных $~\alpha,$ где

${\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!$

В частности:

• Квадратный корень:

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n,$ для всех $|x|<1\!$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} x^n,$ для всех | x | < 1

• Конечный геометрический ряд:

$\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n,$ для всех $x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0\!$

Тригонометрические функции:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}$

$\operatorname{tg}\ x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},$ для всех $\left| x \right| < \frac{\pi}{2},$ где B_2n — Числа Бернулли

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$ для всех $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$

Гиперболические функции:

$\operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}$

$\operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}$

$\operatorname{th}\,\left(x\right) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right| < \frac{\pi}{2}$

$\operatorname{arsh}\, \left(x\right) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$

$\operatorname{arth}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$ для всех $\left| x \right| < 1$

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция f(x,y) имеет полные производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (x₀,y₀). Введём дифференциальный оператор

$\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}$.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции f(x,y) по степеням (x − x₀)^k и (y − y₀)^k в окрестности точки (x₀,y₀) будет

$f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),$

где R_n(x,y) — остаточный член в форме Лагранжа:

$R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]$

В случае функции одной переменной $\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac d {dx}$, поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе T.

См. также

• Теорема Тейлора
• Ряд Фурье
• Ряд Лорана
• Дельсарт, Жан Фридерик

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
• Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.