Теорема Куранта — Фишера
(перенаправлено с «Теорема Куранта-Фишера»)
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 сентября 2018 года; проверки требуют 2 правки.
Теорема Куранта — Фишера — теорема о свойстве эрмитова оператора в гильбертовом пространстве функций. Также называется теоремой о минимаксе[1].
Формулировка[править | править код]
- — линейный самосопряжённый оператор, действующий в конечномерном комплексном или действительном пространстве,
- — единичная сфера,
- — ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов оператора ,
- — -ое собственное значение оператора и
- — -мерное подпространство .
Доказательство[править | править код]
,
— -мерное подпространство ,
— линейная оболочка векторов .
.
Откуда следует, что .
Пусть и .
Так как то .
С другой стороны: так как то
Равенство достигается при .
Дополнительно[править | править код]
Очевидно, что .
Примечания[править | править код]
- ↑ Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — c. 190
Литература[править | править код]
- Р. Беллман. Введение в теорию матриц
- Ланкстер. Теория Матриц
- Прасолов Задачи и теоремы линейной алгебры.
- Ильин, Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Для улучшения этой статьи желательно:
|