Теорема Риса — Торина

Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом, и в операторной форме сформулирована и доказана Улофом Ториным в 1939 году.

Согласно теореме, для двух пространств $(\Omega _{1},\Sigma _{1},\mu _{1})$ и $(\Omega _{2},\Sigma _{2},\mu _{2})$ с мерами $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций $L_{p}(\Omega _{i})$, суммируемых с $p$-й степенью $(p\geqslant 1)$ по мерам $\mu _{i}$ $(i=1,2)$, тройка банаховых пространств $(L_{p_{0}}(\Omega _{1}),L_{p_{1}}(\Omega _{1}),L_{p}(\Omega _{1}))$ является нормально интерполяционной типа $\alpha$ относительно тройки $(L_{q_{0}}(\Omega _{2}),L_{q_{1}}(\Omega _{2}),L_{q}(\Omega _{1}))$, если:

${\frac {1}{p}}={\frac {1-\alpha }{p_{0}}}+{\frac {\alpha }{p_{1}}}$ и ${\frac {1}{q}}={\frac {1-\alpha }{q_{0}}}+{\frac {\alpha }{q_{1}}}$,

где $0\leqslant \alpha \leqslant 1$. (Тройка банаховых пространств $(A,B,E)$ является интерполяционной типа $\alpha$, где $0\leqslant \alpha \leqslant 1$, относительно тройки $(C,D,F)$, если она интерполяционна и выполнено неравенство $\|T\|_{E\rightarrow F}\leqslant c\|T\|_{A\rightarrow C}^{1-\alpha }\|T\|_{B\rightarrow D}^{\alpha }$.)

Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций.

Литература

• Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.
• Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. — 264 с.