Теорема Пика (комплексный анализ)

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

Формулировка

Пусть $w=f(z)$ — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

$Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.$

Тогда для любых точек $z_{1}$ и $z_{2}$ круга $Q$ расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

$d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})$.

Более того, равенство достигается только в том случае, когда $w=f(z)$ есть дробно-линейная функция, отображающая круг $Q$ на себя.

Замечания

Поскольку

$\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|z-w\right|}{\left|1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},$

условие

$d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})$

эквивалентно следующему неравенству:

$\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}.$

Если $z_{1}$ и $z_{2}$ бесконечно близки, оно превращается в

${\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.$

Литература

• Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.